Риманова субмерсия

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ и ${\displaystyle (N,h)}$ — римановы многообразия. Гладкое отображение ${\displaystyle f\colon (M,g)\to (N,h)}$ называется римановой субмерсией, если для любой точки ${\displaystyle x}$ существует изометрическое линейное вложение ${\displaystyle \imath _{x}\colon T_{f(x)}N\to T_{x}M}$ такое, что ${\displaystyle \imath _{x}\circ d_{x}f}$ есть ортогональная проекция. Здесь ${\displaystyle d_{x}f}$ обозначает дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$.

Для вектора ${\displaystyle X\in T_{f(x)}}$ вектор ${\displaystyle {\overline {X}}=\imath _{x}(X)}$ называется горизонтальным поднятием ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle f\colon N\to M}$ — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ на ${\displaystyle M}$, значение тензора кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ можно вычислить, используя формулу О’Нэйла

${\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {V}},{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline {V}},{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle }$.

где ${\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}}$ — горизонтальные поднятия полей ${\displaystyle X,Y,V,W}$ соответственно, ${\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}$ — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей ${\displaystyle {\overline {X}},{\overline {Y}}}$ на ${\displaystyle N}$.

В частности,

${\displaystyle \langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {Y}},{\overline {X}}\rangle +{\tfrac {3}{4}}\left|[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}\right|^{2}}$,

• ${\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}$ является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов ${\displaystyle {\overline {X}}}$ и ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ в этой точке.

• Абсолютная величина ${\displaystyle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}}$ в точке ${\displaystyle p\in N}$ зависит только от точки ${\displaystyle p}$ и значений ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в точке ${\displaystyle f(p)}$.
• Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну ${\displaystyle \geqslant \kappa }$, то то же верно и для его базы.

• Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.
• Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7., том 2, стр. 326—379.