Ро-алгоритм Полларда

Ро-алгоритм (${\displaystyle \rho }$-алгоритм) — предложенный Джоном Поллардом^[англ.] в 1975 году алгоритм, служащий для факторизации (разложения на множители) целых чисел. Данный алгоритм основывается на алгоритме Флойда поиска длины цикла в последовательности и некоторых следствиях из парадокса дней рождения. Алгоритм наиболее эффективен при факторизации составных чисел с достаточно малыми множителями в разложении. Сложность алгоритма оценивается как ${\displaystyle O(N^{1/4})}$^[1].

ρ-алгоритм Полларда строит числовую последовательность, элементы которой образуют цикл, начиная с некоторого номера n, что может быть проиллюстрировано, расположением чисел в виде греческой буквы ρ, что послужило названием семейству алгоритмов^[2][3].

В конце 60-х годов XX века Роберт Флойд придумал достаточно эффективный метод решения задачи нахождения цикла, также известный, как алгоритм «черепаха и заяц»^[4]. Джон Поллард, Дональд Кнут и другие математики проанализировали поведение этого алгоритма в среднем случае. Было предложено несколько модификаций и улучшений алгоритма^[5].

В 1975 году Поллард опубликовал статью^[6], в которой он, основываясь на алгоритме Флойда обнаружения циклов, изложил идею алгоритма факторизации чисел, работающего за время, пропорциональное ${\displaystyle N^{1/4}}$^[6][1]. Автор алгоритма назвал его методом факторизации Монте-Карло, отражая кажущуюся случайность чисел, генерируемых в процессе вычисления. Однако позже метод всё-таки получил своё современное название — ρ-aлгоритм Полларда^[7].

В 1981 году Ричард Брент и Джон Поллард с помощью алгоритма нашли наименьшие делители чисел Ферма ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ при ${\displaystyle 5\leq n\leq 13}$^[8]. Скорость алгоритма сильно зависит лишь от величины наименьшего делителя исходного числа, но не от самого числа. Так, поиск наименьшего делителя седьмого числа Ферма — ${\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{7}=340282366920938463463374607431768211457=59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721;\end{array}}}$, занимает гораздо больше времени, чем поиск делителя двенадцатого числа Ферма (т.к. его делитель 114689 значительно меньше, хотя само число состоит более чем из 1200 десятичных цифр).

В рамках проекта «Cunningham project^[англ.]» алгоритм Полларда помог найти делитель длиной 19 цифр числа ${\displaystyle 2^{2386}+1}$. Большие делители также могли бы быть найдены, однако открытие метода факторизации с помощью эллиптических кривых сделало алгоритм Полларда неконкурентоспособным^[9].

Рассматривается последовательность целых чисел ${\displaystyle {x_{n}}}$, такая что ${\displaystyle x_{0}=2}$ и ${\displaystyle x_{i+1}=(x_{i}^{2}-1\,)(\mathrm {mod} \,N)}$, где ${\displaystyle N}$ — число, которое нужно факторизовать. Оригинальный алгоритм выглядит следующим образом^[10][6]:

1. Вычисляются тройки чисел

${\displaystyle (x_{i},x_{2i},Q_{i}),i=1,2,...}$, где ${\displaystyle Q_{i}\equiv \prod _{j=1}^{i}(x_{2j}-x_{j})\,(\mathrm {mod} \,N)}$.

Причём каждая такая тройка получается из предыдущей.

2. Каждый раз, когда число ${\displaystyle i}$ кратно числу ${\displaystyle m}$ (скажем, ${\displaystyle m=100}$), вычисляется наибольший общий делитель ${\displaystyle d_{i}=\mathrm {GCD} (Q_{i},N)}$ любым известным методом.

3. Если ${\displaystyle 1<d_{i}<N}$, то частичное разложение числа ${\displaystyle N}$ найдено, причём ${\displaystyle N=d_{i}\times (N/d_{i})}$.

Найденный делитель ${\displaystyle d_{i}}$ может быть составным, поэтому его также необходимо факторизовать. Если число ${\displaystyle N/d_{i}}$ составное, то продолжаем алгоритм с модулем ${\displaystyle N'=N/d_{i}}$.

4. Вычисления повторяются ${\displaystyle S}$ раз. Если при этом число не было до конца факторизовано, выбирается, например, другое начальное число ${\displaystyle x_{0}}$.

Пусть ${\displaystyle N}$ составное целое положительное число, которое требуется разложить на множители. Алгоритм выглядит следующим образом^[11]:

1. Случайным образом выбирается небольшое число ${\displaystyle x_{0}}$^[12] и строится последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\},n=0,1,2,...}$, определяя каждое следующее как ${\displaystyle x_{n+1}=F(x_{n})\,(\mathrm {mod} \,\,N)}$.
2. Одновременно на каждом i-ом шаге вычисляется ${\displaystyle d=\mathrm {GCD} (N,|x_{i}-x_{j}|)}$ для каких-либо ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ таких, что ${\displaystyle j<i}$, например, ${\displaystyle i=2j}$.
3. Если ${\displaystyle d>1}$, то вычисление заканчивается, и найденное на предыдущем шаге число ${\displaystyle d}$ является делителем ${\displaystyle N}$. Если ${\displaystyle N/d}$ не является простым числом, то процедуру поиска делителей продолжается, взяв в качестве ${\displaystyle N}$ число ${\displaystyle N'=N/d}$.

На практике функция ${\displaystyle F(x)}$ выбирается не слишком сложной для вычисления (но в то же время не линейным многочленом), при условии того, что она не должна порождать взаимно однозначное отображение. Обычно в качестве ${\displaystyle F(x)}$ выбираются функции ${\displaystyle F(x)=x^{2}\pm 1(\mathrm {mod} \,N)}$^[12] или ${\displaystyle F(x)=x^{2}\pm a(\mathrm {mod} \,N)}$^[13]. Однако функции ${\displaystyle x^{2}-2}$ и ${\displaystyle x^{2}}$ не подходят^[10].

Если известно, что для делителя ${\displaystyle p}$ числа ${\displaystyle N}$ справедливо ${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,k)}$ при некотором ${\displaystyle k>2}$, то имеет смысл использовать ${\displaystyle F(x)=x^{k}+b}$^[10].

Существенным недостатком алгоритма в такой реализации является необходимость хранить большое число предыдущих значений ${\displaystyle x_{j}}$.

Изначальная версия алгоритма обладает рядом недостатков. В настоящий момент существует несколько подходов к улучшению оригинального алгоритма.

Пусть ${\displaystyle F(x)=(x^{2}-1){\bmod {N}}}$. Тогда, если ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})\equiv 0{\pmod {p}}}$, то ${\displaystyle (F(x_{j})-F(x_{i}))\equiv 0{\pmod {p}}}$, поэтому, если пара ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ даёт решение, то решение даст любая пара ${\displaystyle (x_{i+k},x_{j+k})}$.

Поэтому нет необходимости проверять все пары ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$, а можно ограничиться парами вида ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$, где ${\displaystyle j=2^{k}}$, и ${\displaystyle k}$ пробегает набор последовательных значений 1, 2, 3, …, а ${\displaystyle i}$ принимает значения из интервала ${\displaystyle [2^{k}+1;2^{k+1}]}$. Например, ${\displaystyle k=3}$, ${\displaystyle j=2^{3}=8}$, а ${\displaystyle i\in [9;16]}$^[11].

Эта идея была предложена Ричардом Брентом в 1980 году^[14] и позволяет уменьшить количество выполняемых операций приблизительно на 25 %^[15].

Ещё одна вариация ρ-алгоритма Полларда была разработана Флойдом. Согласно Флойду, значение ${\displaystyle y}$ обновляется на каждом шаге по формуле ${\displaystyle y=F^{2}(y)=F(F(y))}$, поэтому на шаге ${\displaystyle i}$ будут получены значения ${\displaystyle x_{i}=F^{i}(x_{0})}$, ${\displaystyle y_{i}=x_{2i}=F^{2i}(x_{0})}$, и НОД на этом шаге вычисляется для ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle y-x}$^[11].

Данный пример наглядно демонстрирует ρ-алгоритм факторизации (версия алгоритма, с улучшением Флойда), для числа N = 8051:

Используя другие варианты полинома ${\displaystyle F(x)}$, можно также получить делитель 83:

Таким образом, d₁ = 97, d₂ = 83 — нетривиальные делители числа 8051.

После нахождения делителя числа, в ρ-алгоритме предлагается продолжать вычисления и искать делители числа ${\displaystyle N/d}$, если ${\displaystyle N/d}$ не является простым. В этом простом примере данного шага совершать не потребовалось^[11].

Алгоритм основывается на известном парадоксе дней рождения.

Парадокс дней рождений, кратко:
Пусть ${\displaystyle \lambda >0}$. Для случайной выборки из ${\displaystyle l+1}$ элементов, каждый из которых меньше ${\displaystyle q}$, где ${\displaystyle l={\sqrt {2\lambda q}}}$, вероятность того, что два элемента окажутся одинаковыми ${\displaystyle p>1-e^{-\lambda }}$.

Следует отметить, что вероятность ${\displaystyle p=0.5}$ в парадоксе дней рождения достигается при ${\displaystyle \lambda \approx 0.69}$.

Пусть последовательность ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ состоит из разностей ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$, проверяемых в ходе работы алгоритма. Определяется новая последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}}$, где ${\displaystyle z_{n}=u_{n}\,\mathrm {mod} \,q}$, ${\displaystyle q}$ — меньший из делителей числа ${\displaystyle N}$.

Все члены последовательности ${\displaystyle \{z_{n}\}}$ меньше ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$. Если рассматривать её как случайную последовательность целых чисел, меньших ${\displaystyle q}$, то, согласно парадоксу дней рождения, вероятность того, что среди ${\displaystyle l+1}$ её членов попадутся два одинаковых, превысит ${\displaystyle 1/2}$ при ${\displaystyle \lambda \approx 0.69}$, тогда ${\displaystyle l}$ должно быть не меньше ${\displaystyle {\sqrt {2\lambda q}}\approx {\sqrt {1.4q}}\approx 1.18{\sqrt {q}}}$.

Если ${\displaystyle z_{i}=z_{j}}$, тогда ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\equiv 0\,\mathrm {mod} \,q}$, то есть, ${\displaystyle x_{i}-x_{j}=kq}$ для некоторого целого ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$, что выполняется с большой вероятностью, то искомый делитель ${\displaystyle q}$ числа ${\displaystyle N}$ будет найден как ${\displaystyle \mathrm {GCD} (N,|x_{i}-x_{j}|)}$. Поскольку ${\displaystyle {\sqrt {q}}\leq n^{1/4}}$, то с вероятностью, превышающей ${\displaystyle 1/2}$ , делитель ${\displaystyle N}$ будет найден за ${\displaystyle 1.18\times N^{1/4}}$ итераций^[11].

Чтобы оценить сложность алгоритма, рассматривается последовательность, строящаяся в процессе вычислений, как случайная (разумеется, ни о какой строгости при этом говорить нельзя). Чтобы полностью факторизовать число ${\displaystyle N}$ длиной ${\displaystyle \beta }$ бит, достаточно найти все его делители, не превосходящие ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$, что требует максимум порядка ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ арифметических операций, или ${\displaystyle N^{1/4}\beta ^{2}=2^{\beta /4}\beta ^{2}}$ битовых операций.

Поэтому сложность алгоритма оценивается, как ${\displaystyle O(N^{1/4})}$^[16]. Однако в этой оценке не учитываются накладные расходы по вычислению наибольшего общего делителя. Полученная сложность алгоритма, хотя и не является точной, достаточно хорошо согласуется с практикой.

Справедливо следующее утверждение: пусть ${\displaystyle N}$ — составное число. Тогда существует такая константа ${\displaystyle C}$, что для любого положительного числа ${\displaystyle \lambda }$ вероятность события, состоящего в том, что ρ-алгоритм Полларда не найдет нетривиального делителя ${\displaystyle N}$ за время ${\displaystyle C{\sqrt {\lambda {\sqrt {N}}}}(\log N)^{2}}$, не превосходит величины ${\displaystyle e^{-\lambda }}$. Данное утверждение следует из парадокса дней рождения^[17].

Объём памяти, используемый алгоритмом, можно значительно уменьшить.

 int Rho-Поллард (int N)
 { 
   int x = random(1, N-2);
   int y = 1; int i = 0; int stage = 2;
   while (Н.О.Д.(N, abs(x - y)) == 1)
   {
     if (i == stage){
       y = x;
       stage = stage*2; 
     }
     x = (x*x + 1) (mod N);
     i = i + 1;
   }
   return Н.О.Д(N, abs(x-y));
 }

В этом варианте вычисление требует хранить в памяти всего три переменные ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle x}$, и ${\displaystyle y}$, что выгодно отличает алгоритм в такой реализации от других методов факторизации чисел^[11].

Алгоритм Полларда допускает распараллеливание с использованием как систем с разделяемой памятью, так и систем с распределенной памятью (передача сообщений), однако второй случай является наиболее интересным с практической точки зрения^[18].

Существующий метод распараллеливания заключается в том, что каждый вычислительный узел исполняет один и тот же последовательный алгоритм, однако, исходное число ${\displaystyle x_{0}}$ и/или полином ${\displaystyle F(x)}$ берутся различными. Для упрощения распараллеливания, предлагается получать их из генератора случайных чисел. Однако такая параллельная реализация не даёт линейного ускорения^[19].

Предположим что есть ${\displaystyle P}$ одинаковых исполнителей. Если мы используем ${\displaystyle P}$ различных последовательностей (то есть различных полиномов ${\displaystyle F(x)}$), то вероятность того, что первые ${\displaystyle k}$ чисел в этих последовательностях будут различными по модулю ${\displaystyle p}$, будет примерно равна ${\displaystyle \exp({-k^{2}P}/2p)}$. Таким образом, максимальное ускорение можно оценить как ${\displaystyle P^{1/2}}$^[9].

Ричард Крэндалл предположил, что достижимо ускорение ${\displaystyle O(P/(\log P)^{2})}$, однако данное утверждение пока не проверено^[20].

Предыдущий метод, очевидно, можно использовать и на системах с общей памятью, однако, гораздо разумнее использовать единый генератор ${\displaystyle F(x)}$^[21].