Ряды Эйзенштейна
Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.
Определение
Ряд Эйзенштейна веса — функция, определённая на верхней полуплоскости и заданная как сумма ряда
Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной .
Свойства
Модулярность
Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса : для любых целых с имеем
Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки , продолжив его на всё пространство решёток:
Тогда Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса к базису той же решётки (что не изменяет значения ) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.
Представление модулярных форм
Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса ) выражается как полином от и :
Связь с эллиптическими кривыми
-функция Вейерштрасса эллиптической кривой раскладывается в ряд Лорана в нуле как
В частности, модулярные инварианты кривой E равны
Литература
- А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
- Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
- Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. - М., Наука, 1986. - 136 c.