Ряд Винера

Перейти к навигации Перейти к поиску

Ряд Винера — это ортогональное разложение для нелинейных функционалов, тесно связанное с рядом Вольтерры и имеющее такое же отношение к нему, как ортогональное полиномиальное разложение к степенному ряду. Ряд Винера — это дискретный аналог ряда Вольтерры.

Ряд Винера имеет вид

Y(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{0}+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=i}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=i}^{n}\sum \limits _{k=j}^{n}a_{ijk}x_{i}x_{j}x_{k}+\ldots

Этот ряд в математической литературе часто называют разложением Ито (по имени японского математика Киёси Ито), которое полностью ему эквивалентно.

История

В 1920-х годах в беседах с учеником итальянского математика Вито Вольтерры Полем Леви Норберт Винер знакомится с теорией аналитических функционалов. Винер, по аналогии с теорией Леви представления броуновского движения в виде интегралов аналитических функционалов Вольтерры, применяет ряды Вольтерры для приблизительного анализа эффекта радиолокационного шума в нелинейной цепи радиоприемника.

В то же время, А. Н. Колмогоров формулирует проблему синтеза оптимального нелинейного предсказывающего фильтра. Дальнейшее развитие идея получает в теории линейной фильтрации Колмогорова — Винера^[1]^[2].

В начале 1960-х годов Д. Габор предлагает универсальный предсказывающий фильтр с самонастройкой в процессе обучения^[3]; фильтр реализует алгоритм предсказания будущего значения стационарной функции времени по её предыстории путём нахождения оптимальных весовых коэффициентов расширенного оператора предсказания. Этот оператор и представляется дискретным аналогом непрерывного ряда Вольтерры — рядом Винера.

Позднее А. Г. Ивахненко использует этот подход и ряд Винера в методе группового учёта аргументов, назвав оператор «полиномом Колмогорова — Габора».

Примечания

↑ Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. матем., т. 5:1, 1941. — С. 3—14.
↑ Weiner N. The Extrapolation Interpolation and Smoothing of Stationary Time-Series. I. Willey, N.Y., 1949. — 290 p.
↑ Gabor D., Wilby W. R., Woodcock R. A. A universal nonlinear filter, predictor and simulator which optimizes itself by a learning process // Proc. Inst. Electr. Engrs., vol. 108., part B, № 40, 1961. — P. 85—98.

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал (Праймориал * Символ Похгаммера * Субфакториал) Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

Ряд Фурье́ — представление функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

\text{[math]}

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).

Алгори́тм Шо́ра — квантовый алгоритм факторизации, позволяющий разложить число $\text{[math]}$ за время $\text{[math]}$ , используя $\text{[math]}$ логических кубитов.

Опера́тор — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой. Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений ; точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Метод Галёркина — метод приближённого решения краевой задачи для дифференциального уравнения $\text{[math]}$ . Здесь оператор $\text{[math]}$ может содержать частные или полные производные искомой функции.

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Распределе́ние Колмого́рова в теории вероятностей — это абсолютно непрерывное распределение, широко используемое в математической статистике для оценки распределения выборки.

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Регрессио́нный анализ — набор статистических методов исследования влияния одной или нескольких независимых переменных $\text{[math]}$ на зависимую переменную $\text{[math]}$ . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными или регрессантами. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Наиболее распространённый вид регрессионного анализа — линейная регрессия, когда находят линейную функцию, которая, согласно определённым математическим критериям, наиболее соответствует данным. Например, в методе наименьших квадратов вычисляется прямая, сумма квадратов между которой и данными минимальна.

Метод главных компонент — один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретён Карлом Пирсоном в 1901 году. Применяется во многих областях, в том числе в эконометрике, биоинформатике, обработке изображений, для сжатия данных, в общественных науках.

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов $\text{[math]}$ в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

\text{[math]}

Метод группового учёта аргументов (МГУА) — семейство индуктивных алгоритмов для математического моделирования мультипараметрических данных. Метод основан на рекурсивном селективном отборе моделей, на основе которых строятся более сложные модели. Точность моделирования на каждом следующем шаге рекурсии увеличивается за счет усложнения модели.

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

Теорема Хинчина — Колмогорова утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции.

Ядром интегрального оператора называется функция двух аргументов $\text{[math]}$ , определяющая некий интегральный оператор $\text{[math]}$ равенством

\text{[math]}

Винеровская теория нелинейных систем — подход к решению задач анализа и синтеза нелинейных систем с постоянными параметрами, при котором в качестве математической модели нелинейной системы рассматривается функционал, который ставит в соответствие каждой функции число.

Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.