Ряд Ламберта

Ряд Ламберта — в математике ряд, названный в честь Иоганна Генриха Ламберта. Этот ряд имеет вид

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

Используя разложение знаменателя, ряд Ламберта можно представить в виде формального ряда

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

в котором коэффициенты определяются с помощью свёртки Дирихле для ${\displaystyle a_{n}}$ с постоянной функцией ${\displaystyle 1(n)=1}$:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

Этот ряд может быть обращён с помощью формулы обращения Мёбиуса. Он представляет собой пример преобразования Мёбиуса.

Поскольку последнее выражение представляет собой типичную теоретико-числовую сумму, почти всякая естественная мультипликативная функция будет в точности суммируемой, когда она употребляется в рядах Ламберта. Так, например,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ — число положительных делителей числа  n.

Для суммы делителей высокого порядка имеем

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольное комплексное число, и

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

функция делителей. В частности, для ${\displaystyle \alpha =1}$, ряд Ламберта, который мы получаем, таков

${\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}$

Это (с точностью до множителя ${\displaystyle q}$) логарифмическая производная обычной порождающей функции для числа разбиений

${\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1964. п. 385.