Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

методом последовательных приближений, положив $u^{(0)}(x)=f(x)$ :

u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots

Функции $(K^{p}f)(x)$ называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на $G$ :

\|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,

где $\mathrm {mes} \,G$ — мера множества $G$ , а $M=\max _{G}|K(x,\;y)|$ .

Из этой оценки следует, что ряд

\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

\|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},

сходящимся в круге $|\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)$ , поэтому при таких $\lambda$ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения $u^{(p)}(x)$ при $p\to \infty$ равномерно стремятся к искомой функции $u(x)$ .

См. также

Литература

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5..

Похожие исследовательские статьи

Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Уравнение теплопроводности</span>

Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $\text{[math]}$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $\text{[math]}$ .

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных решений на промежутке $\text{[math]}$ уравнения Штурма — Лиувилля

\text{[math]}

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема, сокращённо БЧХ-коды — в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок. Отличается возможностью построения кода с заранее определёнными корректирующими свойствами, а именно, минимальным кодовым расстоянием. Частным случаем БЧХ-кодов является код Рида — Соломона.

Градие́нтные ме́тоды — численные методы решения с помощью градиента задач, сводящихся к нахождению экстремумов функции.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

\text{[math]}

Функции Йоста — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе

\text{[math]}

Линейный функционал $\text{[math]}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $\text{[math]}$

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Преобразование Мелера — Фока функции $\text{[math]}$ имеет вид:

\text{[math]}

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

\text{[math]}

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.