Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд вида:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где ${\displaystyle T}$ — это некоторый оператор. В этом случае ${\displaystyle T^{n}}$ означает суперпозицию из ${\displaystyle n}$ одинаковых операторов ${\displaystyle T}$. Если же ${\displaystyle T}$ — элемент кольца, то ${\displaystyle T^{n}}$ будет означать ${\displaystyle n}$-ю степень элемента ${\displaystyle T}$.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор ${\displaystyle T}$, действующий в банаховом пространстве ${\displaystyle X}$, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида ${\displaystyle I-F}$, где ${\displaystyle \lambda _{max}(F)<1}$ — максимальное собственное значение матрицы ${\displaystyle F}$.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида ${\displaystyle 1-p}$, где ${\displaystyle p}$ — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}p^{n},}$

где ${\displaystyle m}$ — индекс нильпотента ${\displaystyle p}$.

• Ряд Лиувилля — Неймана