Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции $f(x)$ вещественной переменной $x$ , дифференцируемой $k$ раз в точке $a$ , называется конечная сумма

\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}

,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при

x-a=h\to 0

верно

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)

.

При записи суммы использованы обозначение $f^{(0)}(x)=f(x)$ и соглашение о произведении по пустому множеству: $0!=1$ , $(x-a)^{0}=1$ .

2. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(x)$ вещественной переменной $x$ , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки $a$ , называется формальный степенной ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

с общим членом

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}

, зависящим от параметра

a

.

Другими словами, рядом Тейлора функции $f(x)$ в точке $a$ называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена $(x-a)$ :

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции $f(x)$ в окрестности точки $a$ не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки $a$ .

3. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(z)$ комплексной переменной $z$ , удовлетворяющей в некоторой окрестности $U\subseteq \mathbb {C}$ точки $a$ условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}

.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса $R>0$ , что в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ ряд сходится к функции $f(z)$ .

4. В случае $a=0$ ряд

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ называется аналитической в точке $x=a$ , если существуют такой радиус $R>0$ и такие коэффициенты $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ , $k=0,1,2,\dots \,$ , что $f(x)$ может быть представлена в виде сходящегося на интервале $(a-R;a+R)$ степенного ряда: $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,$ , то есть $\forall x\in (a-R;a+R)$ $\Rightarrow$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)$ .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ на любом компактном подмножестве $K$ области сходимости $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в $k$ -ю производную функции $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ подставить $z=a$ , то получится ${c_{k}}\cdot k!$ .

Таким образом, для аналитической в точке $a$ функции $f(z)$ для некоторого $R>0$ всюду в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ является верным представление $f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}$ .

Следствие. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром $a$ на некотором открытом интервале, содержащем точку $a$ .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке $a$ функции $f(x)$ вещественного переменного $x$ её ряд Тейлора $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$ сходиться к $f(x)$ всюду на каком-нибудь интервале $(a-R;a+R)$ , то есть представима ли $f(x)$ этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$ .

Примеры. Функции вещественной переменной $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,$ , $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ являются бесконечно дифференцируемыми в точке $x=0$ , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром $a=0$ тождественно равны нулю. Однако, для любого $R>0$ в окрестности $(-R;+R)$ точки $a=0$ найдутся точки, в которых функции отличны от $0$ . Таким образом, эти функции не являются в точке $a=0$ аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ , является аналитической функцией комплексной переменной для всех $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$ .

Для $z\neq 0$ очевидно, что ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$ .

Функция $f(x)$ для $x\in \mathbb {R}$ — это «исправленная» функция $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ , $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , дополненная пределами слева $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ и справа $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ в точке $x=0$ .

Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x=0$ . По определению: $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$ .

Поскольку для $x\in (0;1)$ выполняется $0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}$ , то докажем, что для произвольного $\alpha >0$ верно $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0$ .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${\frac {1}{x}}=t$ :

$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}$ .

Пусть $k=\lceil \alpha \rceil$ . Применяя правило Лопиталя $k$ раз, в числителе получим либо (при $\alpha =k$ ) константу $k!$ , либо (при $\alpha <k$ ) бесконечно малую $\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$ :

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0

.

Таким образом,

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0

.

Найдём (для $x\neq 0$ ) несколько начальных производных функции $f(x)$ :

f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение $f(x)$ на сумму целых отрицательных степеней $x$ . Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$ .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные $f(x)$ в точке $x=0$ , обнаруживаем, что все производные в точке $x=0$ равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке $a$ ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке $a$ ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${\frac {1}{1-x}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки $x=1$ , то ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ сходится только при условии $|x|<1$ .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию $e^{x}$ . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен $R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty$ . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси $x$ для любого параметра $a$ .

4. От параметра — точки разложения $a$ ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного $a$ ) в ряд Тейлора функцию $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ : $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}$ .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента $x$ , при любых значениях $a$ (кроме $a=1$ ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством $\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1$ . И теперь эта область зависит от $a$ . Например, для $a=0$ ряд сходится при $x\in (-1;1)$ . Для $a=0{,}5$ ряд сходится при $x\in (0;1)$ .

Формула Тейлора

Предположим, что функция $f(x)$ имеет все производные до $n+1$ -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку $x=a$ . Найдем многочлен ${P_{n}}(x)$ степени не выше $n$ , значение которого в точке $x=a$ равняется значению функции $f(x)$ в этой точке, а значения его производных до $n$ -го порядка включительно в точке $x=a$ равняются значениям соответствующих производных от функции $f(x)$ в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}$ , то есть это $n$ -я частичная сумма ряда Тейлора функции $f(x)$ . Разница между функцией $f(x)$ и многочленом ${P_{n}}(x)$ называется остаточным членом и обозначается ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ . Формула $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем $n+1$ раз в рассматриваемой окрестности точки $a$ . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную на отрезке с концами $a$ и $x$ , то для произвольного положительного числа $p$ найдётся точка $\xi$ , лежащая между $a$ и $x$ , такая, что

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1

В форме Коши:

R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

В интегральной форме:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt

Вывод

Методом интегрирования по частям получим

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}

откуда

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)

Ослабим предположения:

Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$ и $n$ -ю производную в самой точке $a$ , тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]

Вывод

Поскольку

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0

, то предел отношения

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}

при

x

, стремящемся к

a

, может быть найден по правилу Лопиталя:

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}={\frac {{R_{n}}{{(a)}^{(n)}}}{n!}}=0

Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член

R_{n}(x)

является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем

(x-a)^{n}

, при

x\to a

. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Предположим, что некоторую функцию $f(x)$ нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке $x=a$ . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке $a$ , и её ряд Тейлора с параметром $a$ может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка $x=a$ , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции $f(x)$ только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку $a$ . Пусть ряд Тейлора с параметром $a$ такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех $x$ из окрестности $a$ по формуле Тейлора можно записать $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ , где $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция $f(x)$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки $a$ существует непрерывная область $X$ такая, что для всех $x\in X$ остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом $n$ : $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$ .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию $e^{x}$ . Её ряд Тейлора сходится на всей оси $x$ для любых параметров $a$ . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках $a$ .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ , где $\xi _{n}$ — некоторое число, заключенное между $x$ и $a$ (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом $M$

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых $x$ и $a$ .

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента: $\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .$
Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$ для всех $-1<x\leq 1.$
Биномиальное разложение: $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ для всех $\left|x\right|<1$ $\left|x\right|<1$ и всех комплексных $\alpha ,$ $\alpha ,$ где $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты.
- Квадратный корень^[6]: $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}$ для всех $|x|\leq 1.$
- Обратный квадратный корень^[6]: $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}$ для всех $-1<x\leq 1.$
- Геометрические ряды^[англ.]^*:
  - ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}$ для всех $|x|<1.$
  - ${\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$ для всех $|x|<1.$
  - ${\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}$ для всех $|x|<1.$
  - Конечный геометрический ряд: $\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}$ для всех $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.$
Тригонометрические функции^[6]^[7]:
- Синус: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Косинус: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Тангенс: $\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
- Котангенс: $\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
- Секанс: $\displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $E_{2n}$ — числа Эйлера.
- Косеканс: $\displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
Обратные тригонометрические функции^[6]^[8]:
- Арксинус: $\arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$ ^[9].
- Арккосинус: $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Арктангенс: $\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Арккотангенс: $\operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
Гиперболические функции^[6]^[10]:
- Гиперболический синус: $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Гиперболический косинус: $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
- Гиперболический тангенс: $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
- Гиперболический котангенс: $\operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
- Гиперболический секанс: $\operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
- Гиперболический косеканс: $\operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
Обратные гиперболические функции^[6]^[11]:
- Гиперболический арксинус: $\operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
- Гиперболический арктангенс: $\operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|<1.$
W-функция Ламберта: $W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция $f(x,y)$ имеет непрерывные производные до $(n+1)$ -го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ . Введём дифференциальный оператор

\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}

.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$ для $p+q\leq n$ в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ будет иметь вид

f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),

где $R_{n}(x,y)$ — остаточный член в форме Лагранжа:

R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]

Следует иметь в виду, что операторы ${\dfrac {\partial }{\partial x}}$ и ${\dfrac {\partial }{\partial y}}$ в $\mathrm {T} ^{k}$ действуют только на функцию $f(x,y)$ , но не на $(x-x_{0})$ и/или $(y-y_{0})$ .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm {T}$ .

В случае функции одной переменной $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$ .

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции $n$ переменных $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ , которая в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет непрерывные производные до $(m+1)$ -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням $(x_{i}-a_{i})^{k_{i}}$ в окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет вид

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),

где $R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})$ — остаточный член порядка $(m+1)$ .

Для функции $n$ переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ , ряд Тейлора имеет вид:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})$ .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}$ .

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных $x$ , $y$ и $z$ в окрестности точки $(0,0,0)$ до второго порядка малости. Оператор $\mathrm {T}$ будет иметь вид

\mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Учитывая, что

T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},

получим

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$ ,

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Примечания

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
↑ Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
↑ Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой $\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},$ где $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x.$
↑ Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.

Литература

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Universum 2024 1(118) DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645
.Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Естественная Теория Флагман Науки 2024 апрель ISSN 29491991
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.

[1] Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.

[2] Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.

[3] Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371

[4] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.

[5] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.

[gr-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.

[7] Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.

[8] Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.

[9] При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой $\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},$ где $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x.$

[10] Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.

[11] Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал (Праймориал * Символ Похгаммера * Субфакториал) Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё