Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.
Определение
1. Многочленом Тейлора функции
вещественной переменной
, дифференцируемой
раз в точке
, называется конечная сумма
,
используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:
- при
верно
.
При записи суммы использованы обозначение
и соглашение о произведении по пустому множеству:
,
.
2. Рядом Тейлора в точке
функции
вещественной переменной
, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки
, называется формальный степенной ряд
с общим членом
, зависящим от параметра
.
Другими словами, рядом Тейлора функции
в точке
называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена
:
.[3]
Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции
в окрестности точки
не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки
.
3. Рядом Тейлора в точке
функции
комплексной переменной
, удовлетворяющей в некоторой окрестности
точки
условиям Коши — Римана, называется степенной ряд
.
В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса
, что в
ряд сходится к функции
.
4. В случае
ряд

называется рядом Маклорена.
Аналитическая функция
1. Функция
вещественной переменной
называется аналитической в точке
, если существуют такой радиус
и такие коэффициенты
,
, что
может быть представлена в виде сходящегося на интервале
степенного ряда:
, то есть
.
Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).
2. Степенной ряд
на любом компактном подмножестве
области сходимости
допускает почленное дифференцирование любое количество раз.
Если в
-ю производную функции
подставить
, то получится
.
Таким образом, для аналитической в точке
функции
для некоторого
всюду в
является верным представление
.
Следствие. Функция
вещественной переменной
является аналитической в точке
тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром
на некотором открытом интервале, содержащем точку
.
3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке
функции
вещественного переменного
её ряд Тейлора
сходиться к
всюду на каком-нибудь интервале
, то есть представима ли
этим рядом?
Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
.
Примеры. Функции вещественной переменной
,
,
являются бесконечно дифференцируемыми в точке
, причём все эти производные равны нулю.
Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром
тождественно равны нулю. Однако, для любого
в окрестности
точки
найдутся точки, в которых функции отличны от
. Таким образом, эти функции не являются в точке
аналитическими.
Доказательство проведём для функции
, предложенной Огюстеном Луи Коши.
Функция
, является аналитической функцией комплексной переменной для всех
.
Для
очевидно, что
.
Функция
для
— это «исправленная» функция
,
, дополненная пределами слева
и справа
в точке
.
Найдём производную функции
в точке
. По определению:
.
Поскольку для
выполняется
, то докажем, что для произвольного
верно
.
Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
не приводит к результату.
Выполним замену переменной:
:
.
Пусть
. Применяя правило Лопиталя
раз, в числителе получим либо (при
) константу
, либо (при
) бесконечно малую
:
.
Таким образом,
.
Найдём (для
) несколько начальных производных функции
:



И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение
на сумму целых отрицательных степеней
. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом,
.
Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные
в точке
, обнаруживаем, что все производные в точке
равны нулю.
Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.
Область сходимости ряда Тейлора
Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке
) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке
) — для случая вещественной переменной.
1. Например, функция
может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом:
(это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция
определена для всех действительных чисел, кроме точки
, то ряд
сходится только при условии
.
2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:
.
3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию
. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен
. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси
для любого параметра
.
4. От параметра — точки разложения
ряда Тейлора — зависит область его сходимости.
Например, разложим в общем случае (для произвольного
) в ряд Тейлора функцию
:
.
Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента
, при любых значениях
(кроме
) имеет один и тот же вид.
Действительно,
.
Область сходимости ряда может быть задана неравенством
. И теперь эта область зависит от
. Например, для
ряд сходится при
. Для
ряд сходится при
.
Формула Тейлора
Предположим, что функция
имеет все производные до
-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку
. Найдем многочлен
степени не выше
, значение которого в точке
равняется значению функции
в этой точке, а значения его производных до
-го порядка включительно в точке
равняются значениям соответствующих производных от функции
в этой точке.
Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид
, то есть это
-я частичная сумма ряда Тейлора функции
. Разница между функцией
и многочленом
называется остаточным членом и обозначается
. Формула
называется формулой Тейлора[4]. Остаточный член дифференцируем
раз в рассматриваемой окрестности точки
. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9581ea19ed64de9723d6f3725f0470e9a0f23c)
В форме Коши:
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616cdc3cb043af06990a174a073b35ea0e3fbee1)
В интегральной форме:

- Методом интегрирования по частям получим

- откуда

Ослабим предположения:
- Пусть функция
имеет
производную в некоторой окрестности точки
и
-ю производную в самой точке
, тогда:
- В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
![{\displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7eca3be3644e41dedb8f25e26357ddb9a08386d)
- Поскольку
, то предел отношения
при
, стремящемся к
, может быть найден по правилу Лопиталя: 
- Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем
, при
. А это и есть определение о-малого.
Критерий аналитичности функции
Предположим, что некоторую функцию
нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке
. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке
, и её ряд Тейлора с параметром
может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.
Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка
, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции
только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.
Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку
. Пусть ряд Тейлора с параметром
такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех
из окрестности
по формуле Тейлора можно записать
, где
— ряд Тейлора.
Очевидно, что функция
является аналитической в точке
тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки
существует непрерывная область
такая, что для всех
остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом
:
.
В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию
. Её ряд Тейлора сходится на всей оси
для любых параметров
. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках
.
Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид
, где
— некоторое число, заключенное между
и
(не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом 
Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых
и
.
Ряды Маклорена некоторых функций
- Экспонента:

- Натуральный логарифм («ряд Меркатора»):
для всех 
- Биномиальное разложение:
для всех
и всех комплексных
где
— обобщённые биномиальные коэффициенты. - Квадратный корень[6]:
для всех 
- Обратный квадратный корень[6]:
для всех 
- Геометрические ряды[англ.]*:
для всех 
для всех 
для всех 
- Конечный геометрический ряд:
для всех 
- Тригонометрические функции[6][7]:
- Синус:

- Косинус:

- Тангенс:
для всех
где
— числа Бернулли. - Котангенс:
для всех
где
— числа Бернулли. - Секанс:
для всех
где
— числа Эйлера. - Косеканс:
для всех
где
— числа Бернулли.
- Обратные тригонометрические функции[6][8]:
- Арксинус:
для всех
[9]. - Арккосинус:
для всех 
- Арктангенс:
для всех 
- Арккотангенс:
для всех 
- Гиперболические функции[6][10]:
- Гиперболический синус:

- Гиперболический косинус:

- Гиперболический тангенс:
для всех 
- Гиперболический котангенс:
для всех 
- Гиперболический секанс:
для всех 
- Гиперболический косеканс:
для всех 
- Обратные гиперболические функции[6][11]:
- Гиперболический арксинус:
для всех 
- Гиперболический арктангенс:
для всех 
- W-функция Ламберта:

Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция
имеет непрерывные производные до
-го порядка включительно в некоторой окрестности точки
. Введём дифференциальный оператор
.
Тогда разложение (формула Тейлора) функции
по степеням
для
в окрестности точки
будет иметь вид

где
— остаточный член в форме Лагранжа:
![{\displaystyle R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144e134c30b8d4c579305c2bbaf6591647deb6c9)
Следует иметь в виду, что операторы
и
в
действуют только на функцию
, но не на
и/или
.
Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе
.
В случае функции одной переменной
.
Формула Тейлора многих переменных
Для получения формулы Тейлора функции
переменных
, которая в некоторой окрестности точки
имеет непрерывные производные до
-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням
в окрестности точки
имеет вид

где
— остаточный член порядка
.
Для функции
переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки
, ряд Тейлора имеет вид:
.
В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:
.
Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных
Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных
,
и
в окрестности точки
до второго порядка малости. Оператор
будет иметь вид

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде


Учитывая, что

получим


Например, при
,

Примечания
- ↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
- ↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
- ↑ Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
- ↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
- ↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
- ↑ Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.
- ↑ Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.
- ↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой
где 
- ↑ Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.
- ↑ Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.
Литература
- Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
- Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
- Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Universum 2024 1(118) DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645
- .Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Естественная Теория Флагман Науки 2024 апрель ISSN 29491991
- Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
- Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
- Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
- Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.