Рёберное покрытие
Рёберное покрытие графа — это множество рёбер C, такое, что каждая вершина графа инцидентна по меньшей мере одному ребру из C.
Следующий рисунок показывает рёберное покрытие двух графов.
Наименьшее рёберное покрытие — это рёберное покрытие наименьшего размера. Число рёбер в наименьшем рёберном покрытии графа называется числом рёберного покрытия и обозначается через (в книге Свами, Тхулалирамана — ). Следующий рисунок показывает примеры наименьших рёберных покрытий.
Заметим, что покрытие правого графа является не только рёберным покрытием, но и паросочетанием. Более того, это паросочетание является совершенным паросочетанием — в нём каждая вершина инцидентна в точности одному ребру паросочетания. Совершенное паросочетание (если существует) всегда является наименьшим рёберным покрытием.
Задача поиска наименьшего рёберного покрытия является задачей оптимизации, принадлежит классу задач покрытия[англ.] и может быть решена за полиномиальное время.
Примеры
- Если в графе нет изолированных вершин (т.е. вершин со степенью 0), то множество всех рёбер является рёберным покрытием (но не обязательно наименьшим!). Если изолированные вершины есть, рёберного покрытия в этом графе не существует.
- Полный двудольный граф Km,n имеет число рёберного покрытия max(m, n).
Свойства
- Согласно второму тождеству Галлаи, в графе без изолированных вершин общее число рёбер в наименьшем рёберном покрытии и наибольшем паросочетании равно числу вершин графа.
Алгоритмы
Наименьшее рёберное покрытие можно найти за полиномиальное время путём нахождения наибольшего паросочетания с последующим добавлением рёбер с помощью жадного алгоритма для покрытия оставшихся вершин [1][2]. На следующем рисунке наибольшее паросочетание показано красным цветом. Дополнительные рёбра, которые добавлены для покрытия непокрытых вершин, показаны синим цветом (в графе справа наибольшее паросочетание является совершенным паросочетанием, в котором все вершины уже покрыты, так что нет необходимости в дополнительных рёбрах.)
См. также
- Задача о вершинном покрытии
- Задача о покрытии множества — задача о рёберном покрытии является частным случаем задачи о покрытии множества – элементами генеральной совокупности являются вершины, а каждое подмножество покрывает ровно два элемента.
Примечания
- ↑ Гарей и Джонсон (Garey, Johnson 1979), стр. 79, используют рёберное покрытие и вершинное покрытие в качестве примера пары сходных задач, одна из которых может быть решена за полиномиальное время, а другая – NP-трудна. См. также стр. 190.
- ↑ Lawler, 2001, с. 222–223.
Литература
- Weisstein, Eric W. Edge Cover (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Michael R. Garey, David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — W.H. Freeman, 1979. — ISBN 0-7167-1045-5.
- Eugene L. Lawler. Combinatorial optimization: networks and matroids. — Dover Publications, 2001. — ISBN 978-0-486-41453-9.
- М. Свами, К. Тхуласираман. 9.2 Рёберные покрытия // Графы, сети и алгоритмы. — М.: «Мир», 1984. — С. 179-180.