Свободное от сумм множество

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество абелевой группы является свободным от сумм, если его множество сумм не пересекается с . Другими словами, является свободным от сумм, если уравнение не имеет решения для .

Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество образует свободное от сумм подмножество множества (для чётного ).

Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых -х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для .

Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

  • Сколько свободных от сумм подмножеств множества существует для заданного ? Бен Грин[1] и Александр Сапоженко[2] показали, что ответ — , как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша[3][4].
  • Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа ?[5]
  • Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе ?[5]

Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.

Ссылки

  1. Ben Green, The Cameron-Erdős conjecture, Bulletin of the London Mathematical Society 36 (2004) pp.769-778
  2. Сапоженко, Александр Антонович (2003), "The Cameron-Erdős conjecture", Доклады Академии наук, 393 (6): 749—752, MR 2088503 {{citation}}: Проверьте значение даты: |year= ()CS1 maint: year (ссылка)
  3. P.J. Cameron and P. Erdős, On the number of sets of integers with various properties, Number theory (Banff, 1988), de Gruyter, Berlin 1990, pp.61-79
  4. См. также A007865
  5. 1 2 Ben Green and Imre Ruzsa, Sum-free sets in abelian groups, 2005.