Свойство продолжения гомотопии

Свойство продолжения гомотопии (или свойство Бо́рсука) говорит, что гомотопия на подпространстве может быть продолжена до гомотопии на всём топологическом пространстве.

Определение

Пусть $X$ — это топологическое пространство и $A\subset X$ . Пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии (является парой Борсука), если для любого топологического пространства $Y$ и любого непрерывного отображения $f\colon X\rightarrow Y$ любую гомотопию ${\widetilde {F}}_{t}\colon A\rightarrow Y$ ограничения $f|_{A}$ можно продолжить до гомотопии $F_{t}\colon X\rightarrow Y$ отображения $f$ .

Свойства

Пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии тогда и только тогда, когда $X\times \{0\}\cup A\times I$ — ретракт пространства $X\times I$ .
Если пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии и $A$ стягиваемо, то отображение факторизации $q\colon X\rightarrow X/A$ является гомотопической эквивалентностью.
Лемма Борсука. Пусть $X$ — это CW-комплекс и $A$ — подкомплекс $X$ , тогда пара $(X,A)$ обладает свойством продолжения гомотопии.

Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Алгебраи́ческая тополо́гия — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $\text{[math]}$ , непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $\text{[math]}$ .

Фу́нкция — соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Прямое произведение — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Ретракт топологического пространства $\text{[math]}$ — подпространство $\text{[math]}$ этого пространства, для которого существует ретракция $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ ; то есть непрерывное отображение $\text{[math]}$ , тождественное на $\text{[math]}$ .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности $\text{[math]}$ на множестве $\text{[math]}$ , обозначается $\text{[math]}$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Теория гомоло́гий — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии.

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга — набор основных свойств теорий гомологий, выделенный Эйленбергом и Стинродом.

Корасслоение — определённый тип непрерывных отображений между топологическими пространствами с определяющим свойством, двойственным к свойству поднятия гомотопий, выполняющихся для расслоений.

Пара топологических пространств — упорядоченная пара $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — топологическое пространство, а $\text{[math]}$ — подпространство.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.