Свойство разделения дисков

Свойство разделения дисков (или DDP от англ. disjoint discs property) — ключевое свойство топологических многообразий размерности 5 и выше, которое выделяет их из класса гомологических многообразий.

История

Идея определения восходит к теореме о двойной надстройке.

Формулировка

Метрическое пространство $X$ удовлетворяет свойству разделения дисков, если каждая пара отображений стандартного 2-диска в $X$ может быть аппроксимирована произвольно близко парой отображений с дизъюнктными образами.

Основная теорема

Пусть $q\geqslant m\geqslant 5$ $q\geqslant m\geqslant 5$ , и замкнутое множество $X\subset \mathbb {R} ^{q}$ $X\subset \mathbb {R} ^{q}$ таково, что
- $X$ является ретрактом некоторой своей окрестности в $\mathbb {R} ^{q}$ ,
- $X$ является m-мерным гомологическим многообразием и
- $X$ удовлетворяет свойству разделения дисков.

Тогда

X

является m-мерным топологическим многообразием.

Более того, если $p\colon M\to X$ — клеточноподобное разрешение $X$ , то $p$ аппроксимируется гомеоморфизмами. В частности, $X$ гомеоморфно $M$ .

Следствия

Если симплициальный комплекс $S$ является гомологическим многообразием и линки всех его вершин односвязны, то $S$ гомеоморфен многообразию.

Литература

J. Bryant, S. Ferry, W. Mio and S. Weinberger. Topology of homology manifolds // Ann. of Math.. — 1996. — Vol. 143. — P. 435–467. — doi:10.2307/2118532.
Disjoint disks property (англ.) на сайте PlanetMath.

Похожие исследовательские статьи

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $\text{[math]}$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Коэффициент зацепления — целочисленная характеристика пары пространственных замкнутых кривых без пересечений и самопересечений, описывающая суммарное количество раз, которое одна кривая в определённом смысле зацепляется за другую.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу $\text{[math]}$ . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Псевдомногообразие в топологии — комбинаторная реализация общей идеи многообразия с особенностями, образующими множество коразмерности два.

Касательное расслоение гладкого многообразия $\text{[math]}$ — векторное расслоение над $\text{[math]}$ , слой которого в точке $\text{[math]}$ является касательным пространством $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Касательное расслоение обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Структура Ходжа веса $\text{[math]}$ , или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки $\text{[math]}$ в действительном векторном пространстве $\text{[math]}$ и разложения $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , комплексного векторного пространства $\text{[math]}$ , которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — комплексное сопряжённое в $\text{[math]}$ .

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.