Связанные состояния в континууме

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Схематичное изображение энергетических уровней и примеры различных состояний. Показаны состояния, принадлежащие дискретному спектру (зеленым), резонансные состояния (синий пунктир)[1] и связанные состояния в континууме (красным). Частично воспроизведено из[2] и[3]

Связанные состояния в континууме (ССК) или локализованные состояния в континууме (ЛСК), англ. bound state in the continuum (BIC) — это собственное состояние какой-либо квантовомеханической или другой открытой системы, обладающее следующими свойствами:

  1. Энергия лежит в области непрерывного спектра (континуума) распространяющихся мод окружающего пространства;
  2. Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (не может излучать плоскую, цилиндрическую или сферическую волну и не может возбуждаться никакой волной), а значит обладает бесконечным временем жизни (добротностью) и вещественной энергией в отсутствие безызлучательных потерь.


В силу волновой природы, этот феномен наблюдается не только в квантовой механике, но также в фотонике, в теории упругости и т.д. Связанные состояния в запрещённой зоне, где нет конечных решений на бесконечности, широко известны (атомы, квантовые точки, дефекты в полупроводниках). Однако, CCK не следует путать с обычными связанными состояниями. Для решений в континууме, которые связаны с этим континуумом, известны резонансные[1] состояния, которые распадаются (теряют энергию) со временем. Они могут возбуждаться падающей волной с той же энергией, и к ним относятся, например, собственные моды открытых оптических резонаторов[4]. В отличие от резонансных состояний, связанные состояния в континууме имеют вещественные собственные значения энергии и поэтому не взаимодействуют с состояниями непрерывного спектра и не могут распадаться[2]. Кроме того, ССК не следует путать с собственными состояниями таких систем как потенциальная яма с бесконечными стенками или резонатор с идеально проводящими стенками, поскольку такие системы не являются открытыми по определению.

Классификация

Классификация локализованных состояний в континууме по механизму возникновения[2]
Тип ССКОбъяснение, подтипыПримеры
ССК, возникающие при решении «обратной задачи»1) ССК Вигнера — фон Неймана (Potential engineering): волновая функция одного из состояний континуума модифицируется так, чтобы быть нормируемой, и для неё подбирается соответствующий потенциал.


2) Модифицирование амплитуды перескока (англ. Hopping rate engineering): В приближении сильной связи скорости перескока модифицируются таким образом, чтобы состояние стало локализованным


3) Модифицирование формы границ: источники в ССК, например, Фабри — Перо типа заменяются на рассеиватели таким образом, чтобы создавать ССК того же типа.

1) В работе фон Неймана и Вигнера[5] рассматривается два типа сферически-симметричных потенциалов, при этом в потенциале локализация происходит за счет «отражения» от бесконечности (т.к. на бесконечность материальная точка уходит за конечное время, скатываясь с этого потенциала, и вероятность нахождения там стремится к нулю). Аналогичный пример в 1D рассматривает экспоненциальную зависимость потенциала[6]. Второй тип потенциала[7][8] имеет сложную форму, но при этом периодически модулируется с периодом . Волновая функция с периодом отражается от такого потенциала в центр по аналогии с отражением от брэгговского зеркала. В одномерном случае такие потенциалы могут быть реализованы с помощью сверхрешеток[9][10].

2) ССК второго типа были реализованы в массиве связанных оптических волноводов[11], при этом амплитуда перескока модулируется расстоянием между волноводами. Экспериментально было реализовано состояние с амплитудами

в системе из 40 волноводов. Также, существуют примеры ССК в решетках с PT-симметрией[12][13].

3) ССК третьего типа в наблюдаются в волнах на воде[14][15][16][17].

ССК, возникающие при изменении параметров (parameter tuning)1) Фабри — Перо ССК: Для резонансных структур коэффициент отражения вблизи резонанса может достигать единицы. Две такие структуры можно расположить таким образом, чтобы они излучали в противофазе и компенсировали друг друга.

2) ССК Фридриха — Винтгена(Friedrich-Wintgen)[18]: Две моды одинаковой симметрии одной и той же структуры сближаются при изменении параметров структуры, и в какой-то момент возникает антипересечение. При этом на одной из ветвей образуется ССК так как моды как бы компенсируют друг друга, находясь в противофазе и излучая в один и тот же радиационный канал[19].

3) Параметрические ССК на одиночном резонансе (Single-resonance parametric BICs): Возникают тогда, когда одну моду можно представить в виде суммы вкладов[20], каждый из которых меняется в зависимости от параметров структуры. В какой-то момент происходит деструктивная интерференция всех вкладов.

1) Помимо волн на воде, упомянутых выше, состояния этого типа встречаются во многих системах, например, в системах пар квантовых точек, связанных с волноводом [21][22], двойных цепочках из атомов меди[23], пар волноводов Z- и П- формы [24]

В фотонике состояния реализуются, например, в парах двумерных фотонных кристаллов на основе планарных оптических волноводов[25], двойных массивах диэлектрических цилиндров[26] и т. п.[27]

2) ССК Фридриха — Винтгена (ФВ ССК) рассматривались в атоме водорода в магнитном поле[28] и экспериментально проявлялись в подавлении автоионизации атома бария[29], топологических изоляторах с дефектом[30] и многих других квантовых системах[31][32]. Также этот тип ССК встречается в двумерных и трехмерных цилиндрических открытых акустических резонаторах[33][34]. В фотонике случайные (accidental) ССК в периодических структурах могут иногда появляться как ФВ ССК[35][36], также моды такого типа появлялись в брэгговском волноводе при взаимодействии ТЕ и ТМ волн через анизотропную среду[37]. Примечательным примером является теоретическая реализация ССК на слоистой сферической наночастице из специфически подобранных материалов[38][39], при этом ССК появляются за счет взаимодействия различных дипольных мод одной и той же частицы. По тому же механизму могут быть реализованы высокодобротные состояния и в несферических диэлектрических резонаторах[40][41], но в этом случае моды состоят из бесконечного числа мультиполей[42], а добротность не уходит полностью в бесконечность.

3) ССК этого типа, в основном, рассматриваются в планарных фотонных кристаллах[43] и также являются случайными (accidental BICs). Они могут возникать, когда структура, лежащая в плоскости , обладает элементами симметрии и [44], однако их существование не гарантируется симметрией, они возникают при определённых параметрах структуры. Помимо фотонных периодических структур[45][46], ССК встречаются для волн на воде[47], квантовых волноводах[48], механических резонаторах[49], в виде поверхностных волн[50] и др.

Симметрийно-защищенные ССКВозникают, когда симметрия собственного состояния отличается от любой из возможных симметрий распространяющихся мод в континууме.В простом случае, состояния такого типа наблюдаются в Г-точке планарных фотонных кристаллов, обладающих симметрией [51][52][53]. Часто, в тех же самых структурах существуют и другие типы ССК. Также симметрийно-защищенные ССК наблюдались в системах связанных волноводов.[54][55]
Разделяемые ССК (separable BICs)Возникают в случае, когда задача на собственные значения решается методом разделения переменных, а волновая функция представима, например, в виде , где оба множителя соответствуют локализованным состояниям, при этом суммарная энергия лежит в континууме.Гамильтониан для получения этого типа ССК был впервые предложен Робником[56] и затем изучался в различных квантовых системах[57][58] и двумерных фотонных структурах[59][60]

ССК Вигнера — фон Неймана

Впервые связанные состояния в континууме были предсказаны в 1929 году в работе Юджина Вигнера и Джона фон Неймана[5]. Были рассмотрены два потенциала, в которых существует ССК, появляющееся по двум различным причинам.

В этой работе сначала выбирается сферически-симметричная волновая функция таким образом, чтобы быть квадратично-интегрируемой по всему пространству. Затем подбирается такой потенциал, чтобы эта волновая функция соответствовала нулевому значению энергии.

Потенциал является сферически-симметричным, тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

при этом исчезают производные по углам, так как мы ограничиваемся рассмотрением только сферически-симметричных волновых функций:

Для того, чтобы была собственным значением для сферически-симметричной волновой функции , потенциал должен быть

.

Получим конкретные значения и , для которых будет наблюдаться ССК.

Первый случай

Потенциал и волновая функция, соответствующая нулевой энергии, для первого случая ССК Вигнера-фон Неймана

Рассмотрим функцию . Поскольку интеграл должен быть конечным, то рассматривая поведение при , получим, что , рассматривая поведение при , получим, что . Регулярность для требует . В итоге получаем .

Положим , тогда потенциал будет равен (отбросив несущественный множитель ):

Собственная функция и потенциальная кривая показаны на рисунке. Кажется, что электрон просто скатится с потенциала и энергия будет принадлежать сплошному спектру, однако существует стационарная орбита с .

В работе[5] дана следующая интерпретация: такое поведение можно понять, исходя из аналогии с классической механикой (соображения принадлежат Лео Силарду). Движение материальной точки в потенциале описывается следующим уравнением:

Легко понять, что когда , , и тогда асимптотика

то есть, за конечное время точка уходит на бесконечность. Cтационарное решение означает, что точка снова возвращается из бесконечности, что она оттуда как будто отражается и начинает колебаться. То, что при стремится к нулю, следует из того, что она скатывается с большой потенциальной горки и обладает огромной скоростью, а значит коротким временем жизни. И поскольку весь колебательный процесс (из на бесконечность и обратно) периодический, то логично, что эта квантово-механическая задача обладает стационарным решением.

Второй случай

a) Потенциал и волновая функция (в произвольном масштабе по вертикальной оси), соответствующая нулевой энергии, для второго случая ССК Вигнера фон-Неймана, b) .

Перейдем ко второму примеру, который уже нельзя интерпретировать из таких соображений.

Для начала, возьмем функцию , тогда . Это расходящиеся сферические волны, поскольку энергия больше, чем потенциал , классическая кинетическая энергия остается положительной. Волновая функция принадлежит непрерывному спектру, интеграл расходится. Попробуем поменять волновую функцию таким образом, чтобы квадратичный интеграл сошелся, а потенциал варьировался вблизи −1.

Рассмотрим следующий анзац:

Если функция непрерывна, и при асимптотика равна , то интеграл будет конечным. Потенциал при этом будет равен (с исправленной арифметической ошибкой в оригинальной статье)[61]:

Для того, чтобы потенциал оставался вблизи −1, и при стремился к −1, мы должны функции сделать малыми и при устремить к нулю.

В первом случае также должна исчезать для , а именно для , то есть для . Это случай, когда или любая другая функция этого выражения.

Положим , где произвольна (здесь при стремится к ). Тогда

Выражение для потенциала является громоздким, но из графиков видно, что для потенциал стремится к −1. Кроме того, оказывается, что для любого можно выбрать такое A, что потенциал будет находиться между и . Можно видеть, что потенциал колеблется с периодом , а волновая функция — с периодом . Получается, что все отраженные волны от «горбов» такого потенциала находятся в фазе, и функция локализуется в центре, отражаясь от потенциала по механизму, похожему на отражение от брэгговского зеркала.

Примечания

  1. 1 2 Maheswari, A. U., Prema, P., & Shastry, C. S. (2010). Resonant states and transmission coefficient oscillations for potential wells and barriers. American Journal of Physics, 78(4), 412—417(https://doi.org/10.1119/1.3276053)
  2. 1 2 3 Hsu, C., Zhen, B., Stone, A. et al. Связанные состояния в континууме // Nat. Rev. Mater.. — 2016. — Т. 1. — С. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.
  3. Koshelev, K.; Bogdanov, A.; Kivshar, Y. Engineering with bound states in the continuum. Opt. Photonics News 2020, 31, 38−45
  4. Lalanne, Philippe, et al. "Light Interaction with Photonic and Plasmonic Resonances." Laser Photonics Rev., vol. 12, no. 5, 1 May. 2018, p. 1700113
  5. 1 2 3 J. von Neumann, E.P. Wigner. Über merkwürdige diskrete Eigenwerte // Phys. Z.. — 1929. — Т. 30. — С. 465—467.
  6. Zafar Ahmed et al 2019 Phys. Scr. 94 105214
  7. Simon, B. On positive eigenvalues of one-body Schrödinger operators. Commun. Pure Appl. Math. 22, 531–538 (1969)
  8. Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446–454 (1975)
  9. D. R. Herrick, “Construction of bound states in the continuum for epitaxial heterostructure superlattices”, Physica B 85, 44-50 (1977).
  10. Molina, M. I., Miroshnichenko, A. E. & Kivshar, Y. S. Surface bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 108, 070401 (2012)
  11. Corrielli, G., Della Valle, G., Crespi, A., Osellame, R. & Longhi, S. Observation of surface states with algebraic localization. Phys. Rev. Lett. 111, 220403 (2013)
  12. Stefano Longhi. Non-Hermitian tight-binding network engineering. Phys. Rev. A 93, 022102
  13. Stefano Longhi, "Bound states in the continuum in PT-symmetric optical lattices, " Opt. Lett. 39, 1697—1700 (2014)
  14. McIver, M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water wave problem. J. Fluid Mech. 315, 257—266 (1996)
  15. Kuznetsov, N. & McIver, P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric body. Q. J. Mech. Appl. Math. 50, 565—580 (1997)
  16. Porter, R. & Evans, D. V. Water-wave trapping by floating circular cylinders. J. Fluid Mech. 633, 311—325 (2009).
  17. Cobelli, P., Pagneux, V., Maurel, A., & Petitjeans, P. (2011). Experimental study on water-wave trapped modes. Journal of Fluid Mechanics, 666, 445—476. doi:10.1017/S0022112010004222
  18. Friedrich, H. & Wintgen, D. Interfering resonances and bound states in the continuum. Phys. Rev. A 32, 3231-3242 (1985)
  19. Remacle, F., Munster, M., Pavlov-Verevkin, V. B., & Desouter-Lecomte, M. (1990). Trapping in competitive decay of degenerate states. Physics Letters A, 145(5), 265—268. doi:10.1016/0375-9601(90)90361-q (https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90361-q)
  20. Gao, X., Hsu, C., Zhen, B. et al. Formation mechanism of guided resonances and bound states in the continuum in photonic crystal slabs. Sci Rep 6, 31908 (2016). https://doi.org/10.1038/srep31908
  21. Cattapan, G. & Lotti, P. Bound states in the continuum in two-dimensional serial structures. Eur. Phys. J. B 66, 517–523 (2008)
  22. Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Trapping of an electron in the transmission through two quantum dots coupled by a wire. JETP Lett. 82, 498–503 (2005)
  23. Díaz-Tendero, S., Borisov, A. G. & Gauyacq, J.-P. Extraordinary electron propagation length in a metallic double chain supported on a metal surface. Phys. Rev. Lett. 102, 166807 (2009)
  24. Sadreev, A. F., Maksimov, D. N. & Pilipchuk, A. S. Gate controlled resonant widths in double-bend waveguides: bound states in the continuum. J. Phys. Condens. Matter 27, 295303 (2015).
  25. Suh, W., Yanik, M. F., Solgaard, O. & Fan, S. Displacement-sensitive photonic crystal structures based on guided resonance in photonic crystal slabs. Appl. Phys. Lett. 82, 1999—2001 (2003)
  26. Ndangali, R. F. & Shabanov, S. V. Electromagnetic bound states in the radiation continuum for periodic double arrays of subwavelength dielectric cylinders. J. Math. Phys. 51, 102901 (2010)
  27. A. M. Chernyak, M. G. Barsukova, A. S. Shorokhov, A. I. Musorin, and A. A. Fedyanin. Bound States in the Continuum in Magnetophotonic Metasurfaces (англ.) // JETP Letters. — 2020. — Vol. 111, no. 1. — P. 46–49.
  28. Friedrich, H. & Wintgen, D. Physical realization of bound states in the continuum. Phys. Rev. A 31, 3964-3966 (1985)
  29. Neukammer, J., Rinneberg, H., Jönsson, G., Cooke, W. E., Hieronymus, H., König, A., Spinger-Bolk, H. (1985). Autoionization Inhibited by Internal Interferences. Physical Review Letters, 55(19), 1979—1982. (https://doi.org/10.1103/physrevlett.55.1979)
  30. Sablikov, V. A. & Sukhanov, A. A. Helical bound states in the continuum of the edge states in two dimensional topological insulators. Phys. Lett. A 379, 1775—1779 (2015)
  31. Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Bound states in the continuum in open quantum billiards with a variable shape. Phys. Rev. B 73, 235342 (2006)
  32. Texier, C. Scattering theory on graphs: II. The Friedel sum rule. J. Phys. A 35, 3389 (2002).
  33. Hein, S., Koch, W. & Nannen, L. Trapped modes and Fano resonances in two-dimensional acoustical duct-cavity systems. J. Fluid Mech. 692, 257—287 (2012)
  34. Lyapina, A. A., Maksimov, D. N., Pilipchuk, A. S. & Sadreev, A. F. Bound states in the continuum in open acoustic resonators. J. Fluid Mech. 780, 370—387 (2015)
  35. Bulgakov, E. N., & Maksimov, D. N. (2018). Avoided crossings and bound states in the continuum in low-contrast dielectric gratings. Physical Review A, 98(5). doi:10.1103/physreva.98.053840
  36. Lee, S., Kim, S., & Kee, C. (2020). Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices, Nanophotonics, 9(14), 4373-4380. doi: https://doi.org/10.1515/nanoph-2020-0346
  37. Pankin, P.S., Wu, BR., Yang, JH. et al. One-dimensional photonic bound states in the continuum. Commun Phys 3, 91 (2020). https://doi.org/10.1038/s42005-020-0353-z
  38. Embedded Photonic Eigenvalues in 3D Nanostructures. Francesco Monticone and Andrea Alù. Phys. Rev. Lett. 112, 213903 (2014)
  39. M. G. Silveirinha, Phys. Rev. A 89, 023813 (2014).
  40. Rybin, M. V., Koshelev, K. L., Sadrieva, Z. F., Samusev, K. B., Bogdanov, A. A., Limonov, M. F., & Kivshar, Y. S. (2017). High-Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators. Physical Review Letters, 119(24). (https://doi.org/10.1103/physrevlett.119.243901)
  41. K. Koshelev et al., Science 367, 288—292 (2020).
  42. S. Gladyshev, K. Frizyuk, A. Bogdanov Phys. Rev. B 102, 075103 — Published 3 August 2020
  43. Hsu, C. W. et al. Observation of trapped light within the radiation continuum. Nature 499, 188—191 (2013)
  44. B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014)
  45. Porter, R. & Evans, D. V. Embedded Rayleigh-Bloch surface waves along periodic rectangular arrays. Wave Motion 43, 29-50 (2005).
  46. Bulgakov, E. N. & Sadreev, A. F. Light trapping above the light cone in a one-dimensional array of dielectric spheres. Phys. Rev. A 92, 023816 (2015)
  47. McIver, M., Linton, C. M., McIver, P., Zhang, J. & Porter, R. Embedded trapped modes for obstacles in two-dimensional waveguides. Q. J. Mech. Appl. Math. 54, 273—293 (2001).
  48. Linton, C. M. & Ratcliffe, K. Bound states in coupled guides. I. Two dimensions. J. Math. Phys. 45, 1359—1379 (2004).
  49. Chen, Y. et al. Mechanical bound state in the continuum for optomechanical microresonators. New J. Phys. 18, 063031 (2016)
  50. Yamanouchi, K. & Shibayama, K. Propagation and amplification of rayleigh waves and piezoelectric leaky surface waves in LiNbO3 . J. Appl. Phys. 43, 856—862 (1972).
  51. B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014).
  52. Z. Sadrieva, K. Frizyuk, M. Petrov, Yu. Kivshar, and A.Bogdanov «Multipolar origin of bound states in the continuum» Phys. Rev. B 100, 115303
  53. Lee, J. et al. Observation and differentiation of unique high-Q optical resonances near zero wave vector in macroscopic photonic crystal slabs. Phys. Rev. Lett. 109, 067401 (2012)
  54. Dreisow, F. et al. Adiabatic transfer of light via a continuum in optical waveguides. Opt. Lett. 34, 2405—2407 (2009)
  55. Plotnik, Y. et al. Experimental observation of optical bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 107, 183901 (2011).
  56. Robnik, M. A simple separable Hamiltonian having bound states in the continuum. J. Phys. A 19, 3845 (1986).
  57. Duclos, P., Exner, P. & Meller, B. Open quantum dots: resonances from perturbed symmetry and bound states in strong magnetic fields. Rep. Math. Phys. 47, 253—267 (2001).
  58. Prodanovic´, N., Milanovic´, V., Ikonic´, Z., Indjin, D. & Harrison, P. Bound states in continuum: quantum dots in a quantum well. Phys. Lett. A 377, 2177—2181 (2013).
  59. Čtyroký, J. Photonic bandgap structures in planar waveguides. J. Opt. Soc. Am. A 18, 435—441 (2001).
  60. Watts, M. R., Johnson, S. G., Haus, H. A. & Joannopoulos, J. D. Electromagnetic cavity with arbitrary Q and small modal volume without a complete photonic bandgap. Opt. Lett. 27, 1785—1787 (2002).
  61. Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446—454 (1975)

Литература

  • Hsu C., Zhen B., Stone A.D., Joannopoulos J.D., Soljačić M. Bound states in the continuum // Nature Reviews Materials. — 2016. — Vol. 1. — P. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.
  • Koshelev K., Bogdanov A., Kivshar Yu. Engineering with Bound States in the Continuum // Optics and Photonics News. — 2020. — Vol. 31, № 1. — P. 38—45. — doi:10.1364/OPN.31.1.000038.
  • Azzam S.I., Kildishev A.V. Photonic Bound States in the Continuum: From Basics to Applications // Advanced Optical Materials. — 2020. — P. 2001469. — doi:10.1002/adom.202001469.
  • Sadreev A.F. Interference traps waves in open system: Bound states in the continuum // Reports on Progress in Physics. — 2021. — Vol. 84, № 5. — P. 055901. — doi:10.1088/1361-6633/abefb9. — arXiv:2011.01221.