Связное пространство

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.

Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle X}$ связно.
2. ${\displaystyle X}$ нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
3. Единственные подмножества ${\displaystyle X}$, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ и всё пространство ${\displaystyle X}$.
4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ и всё пространство ${\displaystyle X}$.
5. ${\displaystyle X}$ не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
6. Единственными непрерывными функциями из ${\displaystyle X}$ в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

• Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства ${\displaystyle X}$, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства ${\displaystyle X}$ и само пространство ${\displaystyle X}$ (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
• Пространство ${\displaystyle X}$, для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ которого существуют открытые непересекающиеся множества ${\displaystyle U\ni x}$ и ${\displaystyle V\ni y}$ такие, что ${\displaystyle X=U\cup V}$, называется вполне раздельным.^[] Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, введём на нём отношение эквивалентности по правилу ${\displaystyle q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0}$. Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

• В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
• Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
• Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного подмножества ${\displaystyle A}$ связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\subset B\subset {\bar {A}}}$) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество ${\displaystyle A}$ плотно в ${\displaystyle B}$, то множество ${\displaystyle B}$ тоже связно.
• Пусть ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}}$ — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством ${\displaystyle A}$. Тогда множество

  ${\displaystyle A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)}$

тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)

• Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства ${\displaystyle X}$ является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства ${\displaystyle X}$ не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ — это максимальные связные подмножества множества ${\displaystyle A}$.
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}}}$ связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$ на оси ординат).

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
• Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

• Линейно связное пространство

• Вполне несвязное пространство
• Односвязное пространство
• Экстремально несвязное пространство