Связность Гаусса — Манина
С расслоением, слои которого являются гладкими многообразиями (или гладкими алгебраическими многообразиями), можно связать некоторое расслоение с плоской связностью, называемой свя́зностью Га́усса — Ма́нина.
Определение
Пусть — расслоение, слои которого — гладкие многообразия. Рассмотрим векторное расслоение со слоями . Иными словами, повесим вместо каждого слоя его -тые когомологии де Рама. По теореме Эресманна[англ.], гладкие расслоения локально тривиальны, так что в достаточно малой окрестности по базе можно отождествить слои друг с другом, и провозгласить гладкими сечениями сечения, которые соответствуют гладким вариациям класса когомологий при тривиализации. Строго говоря, мы определили не расслоение, а только пучок, но это действительно будет пучок сечений расслоения.
Для простоты предположим на минутку, что слои компактны. Когомологии де Рама компактного многообразия изоморфны сингулярным когомологиям , таким образом, в каждом слое имеется решётка целочисленных когомологий, гладко зависящая от точки . Связность Гаусса — Манина определяется как связность, относительно которой локальные сечения, в каждой точке принимающие значения в этой целочисленной решётке, являются плоскими.
Описание связности Гаусса — Манина через плоские сечения даёт удобный способ её визуализировать, однако для её существования наличие целочисленной структуры на когомологиях совершенно не необходимо. Она допускает следующее описание. Выберем в расслоении связность Эресманна[англ.] . Если — какое-то сечение, оно может быть реализовано набором замкнутых форм . Выбранная связность Эресманна позволяет продолжить его до единой формы , доопределяя её на направлениях, трансверсальных слоям, условием для всех . Заметим, что эта форма не обязана быть замкнутой. Определим связность Гаусса — Манина таким образом: . Здесь — произвольное векторное поле на базе, а — его поднятие при помощи связности Эресманна, то есть сечение , при проекции на базу переходящее в . Проверка того, что это хорошо определённая связность (то есть что такая производная Ли будет замкнута в ограничении на слои, и эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница), не составляет труда; чуть сложнее показать, что она не зависит от выбора связности Эресманна.
Это определение связности Гаусса — Манина изящно формулируется в терминах дифференциально градуированных алгебр[англ.]. Это позволяет перенести определение связности Гаусса — Манина в некоммутативную геометрию: Гетцлер[англ.][1], и Каледин[2] построили связность Гаусса-Манина на периодических циклических гомологиях.
Применение
Связность Гаусса — Манина в первых когомологиях семейства эллиптических кривых с уравнениями над проколотой сферой Римана, параметризованной комплексным параметром , определяет дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пикара — Фукса. Гаусс рассматривал аналогичное уравнение для семейства кривых ; общее описание таких уравнений в случае, когда база является алгебраической кривой, было дано Маниным[3], а в общем случае Гротендиком[4]. Ему принадлежит название «связность Гаусса — Манина», а также абстрактное алгебраико-геометрическое описание этой связности как одной из стрелок в спектральной последовательности Лере[англ.] для подходящего пучка.
Связность Гаусса — Манина используется также в симплектической геометрии. Именно, пусть — расслоение, слои которого лагранжевы торы. Касательное пространство к базе такого расслоения можно отождествить с некоторым подпространством в пространстве сечений нормального расслоения к слою, висящему над этой точкой. Но у лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно кокасательному, так что эти сечения определяют дифференциальные 1-формы на слое. Оказывается, эти формы замкнуты, и их классы когомологий суть всевозможные классы первых когомологий слоя. Таким образом, касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоёв, и, следовательно, имеет каноническую плоскую связность, связность Гаусса — Манина. В механике это утверждение имеет следствие, известное как теорема Лиувилля — Арнольда: у гамильтоновой системы, имеющей столько же независимых находящихся в инволюции интегралов, сколько степеней свободы, уравнения движения могут быть решены в квадратурах. Голоморфная версия теоремы Лиувилля — Арнольда определяет плоскую связность с монодромией вне некоторого дивизора на , базе голоморфного лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии[англ.]. Наиболее наглядный случай, когда тотальное пространство — K3-поверхность, слои — эллиптические кривые, а база — сфера Римана с 24 проколами, изучена Концевичем и Сойбельманом[англ.][5].
Примечания
- ↑ Архивированная копия . Дата обращения: 20 октября 2018. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 года.
- ↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Архивная копия от 21 октября 2018 на Wayback Machine [math/0702068v2] Cyclic homology with coefficients]
- ↑ Алгебраические кривые над полями с дифференцированием
- ↑ On the de Rham cohomology of algebraic varieties . Дата обращения: 20 октября 2018. Архивировано 16 декабря 2018 года.
- ↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Архивная копия от 28 мая 2020 на Wayback Machine [math/0406564] Affine structures and non-archimedean analytic spaces]