Седловая точка

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в чистых стратегиях. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ в стационарной точке ${\displaystyle (0,0)}$ получим матрицу:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

которая является неопределенной. Поэтому, точка ${\displaystyle (0,0)}$ данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, ${\displaystyle (0,0)}$ является седловой точкой функции ${\displaystyle z=x^{4}-y^{4}}$, но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

• Критическая точка (математика)
• Метод перевала
• Экстремум
• Особая точка (дифференциальные уравнения)
• Матрица (математика)

• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
• von Petersdorff, Tobias (2006), "Critical Points of Autonomous Systems", Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), Архивировано из оригинала 3 января 2007, Дата обращения: 12 ноября 2009 Архивная копия от 3 января 2007 на Wayback Machine
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2