Семнадцатая проблема Гильберта

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Пусть дана рациональная функция от переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения

  • Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом.[1] Более явные примеры таких многочленов были даны Моцкиным[англ.] в 1967 году.
    • Например, многочлены
    не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
  • Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.[2]
  • С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
  • Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.[3]

Примечания

  1. ↑ Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p.
  2. ↑ V. Powers, T. Wormann. An algorithm for sums of squares of real polynomials (англ.) // Journal of pure and applied algebra : journal. — 1998. — Vol. 127, no. 1. — P. 99—104. — doi:10.1016/S0022-4049(97)83827-3. Архивировано 16 июня 2010 года.
  3. ↑ Jean B. Lasserre. A Sum of Squares Approximation of Nonnegative Polynomials (англ.) // SIAM Rev. : journal. — 2007. — Vol. 49, no. 4. — P. 651—669. — doi:10.1137/070693709. Архивировано 18 апреля 2007 года.

Литература

  • Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
  • В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
  • C. N. Delzell. A continuous, constructive solution to Hilbert’s 17th problem (англ.) // Invent. Math. : journal. — 1984. — Vol. 76, no. 3. — P. 365—384. — doi:10.1007/BF01388465.