Сепарабельный многочлен

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем ${\displaystyle K}$, все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля ${\displaystyle K}$.

Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен ${\displaystyle P}$ сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной ${\displaystyle P'}$. Это последнее означает, что сам многочлен ${\displaystyle P}$ (а не только его неприводимые над ${\displaystyle K}$ сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в положительной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена ${\displaystyle P}$ должно иметь место представление:

${\displaystyle P(X)=Q(X^{p})}$,

где ${\displaystyle Q}$ — также неприводимый многочлен, а ${\displaystyle p}$ — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен:

${\displaystyle P(X)=X^{p}-T}$

над полем ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}(T)}$ рациональных функций от одной переменной ${\displaystyle T}$ над полем из ${\displaystyle p}$ элементов ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении ${\displaystyle T^{1/p}}$ к полю ${\displaystyle K}$):

${\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(X-T^{1/p})^{p}}$,

иными словами, ${\displaystyle T^{1/p}}$ является (единственным) корнем кратности ${\displaystyle p}$.