Середина отрезка
Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.
Координаты
Средняя точка отрезка в -мерном пространстве, концами которого являются точки и , задаётся формулой:
- .
Таким образом, -я координата средней точки () равна:
- .
Построение
Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.
С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка строится точка , симметричная точке относительно точки ; на втором шаге строится инверсия точки относительно окружности радиуса с центром в точке ; полученная точка является серединой отрезка [1][2][3].
Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центром[4].
Геометрические свойства
Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности. Теорема о бабочке утверждает, что если является серединой хорды и через середину проходят две другие хорды и , то и пересекают хорду в точках и соответственно таким образом, что является серединой отрезка .
Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.
Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.
Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезков[5]. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.
Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами P[6]. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольнику[6][7].
Обобщения
Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулы применимы к любой аффинной системе координат.
Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкой[8].
Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.
Примечания
- ↑ Костовский, 1984, с. 20.
- ↑ Курант, Роббинс, 2001, с. 172—179.
- ↑ Wolfram mathworld (29 сентября 2010). Дата обращения: 20 июля 2015. Архивировано из оригинала 25 ноября 2016 года.
- ↑ Адлер, 1940, с. 67—72.
- ↑ Altshiller-Court, 2007.
- ↑ 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003, с. 255—270.
- ↑ Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008.
- ↑ Coxeter, 1949, с. 119.
Литература
- А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
- Август Адлер. Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6.
- Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
- Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
- H. S. M. Coxeter. The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
- Х. С. М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
- Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.
Ссылки
- Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
- What is Midpoint Formula