Серединный многоугольник

Серединный многоугольник (многоугольник Казнера^[1]^[2]) — многоугольник, вершинами которого являются середины рёбер исходного многоугольника^[3]^[4].

Серединный треугольник обладает тем же центроидом и теми же медианами, что и исходный треугольник. Периметр серединного треугольника равен полупериметру исходного треугольника, а площадь равна четверти площади исходного треугольника (показывается с помощью формулы Герона). Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности исходного треугольника.

В силу теоремы Вариньона серединный четырёхугольник всегда является параллелограммом, который называется вариньоновым. Если четырёхугольник является простым, то площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника. Периметр параллелограмма равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.

Примечания

↑ Kasner, 1903, с. 59.
↑ Schoenberg, 1982, с. 91, 101.
↑ Gardner, 2006, с. 36.
↑ Gardner, Gritzmann, 1999, с. 92.

Литература

Richard J. Gardner. Geometric tomography. — 2nd. — Cambridge University Press, 2006. — Т. 58. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications).
Richard J. Gardner, Peter Gritzmann. Discrete tomography: Foundations, Algorithms, and Applications / Gabor T.Herman, Attila Kuba. — Springer, 1999. — С. 85–114.
Edward Kasner. The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons // American Mathematical Monthly. — 1903. — Т. 10, вып. 3 (March). — С. 57–63. — doi:10.2307/2968300.
I. J. Schoenberg. Mathematical time exposures. — Mathematical Association of America, 1982. — ISBN 0-88385-438-4.
Elwyn R. Berlekamp, Edgar N. Gilbert, Frank W. Sinden. A Polygon Problem // American Mathematical Monthly. — 1965. — Т. 72, вып. 3 (March). — С. 233–241. — doi:10.2307/2313689.
J. H. Cadwell. A Property of Linear Cyclic Transformations // The Mathematical Gazette. — 1953. — Т. 37, вып. 320 (May). — С. 85–89.
Richard J. Clarke. Sequences of Polygons // Mathematics Magazine. — 1979. — Т. 52, вып. 2 (March). — С. 102–105. — doi:10.2307/2689847.
Hallard T. Croft, K. J. Falconer, Richard K. Guy. Unsolved Problems in Geometry. — Springer, 1991. — С. 76–78.
Gaston Darboux. Sur un problème de géométrie élémentaire // Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, Sér. 2. — 1878. — Т. 2, вып. 1. — С. 298–304.
Y. David Gau, Lindsay A. Tartre. The Sidesplitting Story of the Midpoint Polygon // Mathematics Teacher. — 1994. — Т. 87, вып. 4 (April). — С. 249–256.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Midpoint Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

<span class="mw-page-title-main">Четырёхугольник</span> многоугольник из 4 вершин и 4 сторон

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся. Четырёхугольник без самопересечений называется простым, часто под термином «четырёхугольник» имеются в виду только простые четырёхугольники.

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.

Пери́метр — общая длина границы фигуры. Имеет ту же размерность величин, что и длина.

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Треугольник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Многоугольник Рёло́ — частный случай кривой постоянной ширины, называющийся так в честь немецкого инженера Франца Рёло. По определению, кривая постоянной ширины $\text{[math]}$ является многоугольником Рёло, если она состоит из конечного числа дуг окружностей радиуса $\text{[math]}$ . Частным случаем многоугольника Рёло является правильный многоугольник Рёло, построенный аналогично треугольнику Рёло на правильном многоугольнике с нечётным числом сторон.

В евклидовой геометрии равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Равносторо́нний многоуго́льник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

<span class="mw-page-title-main">Середина отрезка</span>

Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.

<span class="mw-page-title-main">Задача о триангуляции многоугольника</span>

Задача о триангуляции многоугольника — классическая задача комбинаторной и вычислительной геометрии, состоящая в нахождении триангуляции многоугольника без дополнительных вершин.

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы.

Наибольший многоугольник единичного диаметра — многоугольник с n сторонами, диаметр которого равен единице, и имеющий наибольшую площадь среди других n-угольников диаметра единица. Решением для n = 4 является квадрат, решением для нечётных n является правильный многоугольник, при этом для остальных чётных n правильный многоугольник наибольшим не будет.

Задача о картинной галерее или музейная задача — это хорошо изученная задача видимости (просматриваемости) в вычислительной геометрии. Задача возникает в реальном мире как задача охраны художественной галереи минимальным числом охранников, которые в состоянии видеть всю галерею. В версии задачи для вычислительной геометрии галерея представляется как простой многоугольник, а каждый охранник представляется точкой внутри многоугольника. Говорят, что множество точек $\text{[math]}$ охраняет многоугольник, если для любой точки $\text{[math]}$ внутри многоугольника существует такая точка $\text{[math]}$ , что отрезок, соединяющий $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , лежит полностью внутри многоугольника.

Теорема о гномоне — это геометрическая теорема. Она утверждает, что два параллелограмма в гномоне имеют равную площадь.

Числа Шрёдера — Гиппарха образуют последовательность целых чисел, которую можно использовать для подсчёта числа плоских деревьев с заданным числом листьев, числа способов вставки скобок в последовательность и числа способов разбиения выпуклого многоугольника на меньшие многоугольники путём проведения диагоналей. Эта последовательность начинается с

1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20793, 103049, ... последовательность A001003 в OEIS.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.