Серединный треугольник

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Красный треугольник является серединным треугольником для чёрного. Вершины красного треугольника лежат в серединах сторон чёрного.

Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Свойства

Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник . Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника и что его площадь равна четверти площади треугольника . Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).

Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника , этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника[2].

Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)[3].

Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса[англ.] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника , является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.

Ортополюс P прямой линии треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[7]

Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[8]

Координаты

Пусть  — длины сторон треугольника . Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:

Антисерединный треугольник

Если  — серединный треугольник для , то является антисерединным треугольником (антидополнительным) для . Антикомплементарный треугольник для образуется тремя прямыми, параллельными сторонам  — параллельно через точку , параллельно через точку и параллельно через точку .

Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника задаются формулами:

Примечания

  1. Posamentier, Lehmann, 2012, с. 177.
  2. Altshiller-Court, 2007, с. 161, Теорема 337.
  3. Altshiller-Court, 2007, с. 103,#206;108,#1.
  4. Franzsen, 2011, с. 233, Лемма 1.
  5. Chakerian, 1979, с. 139, Глава 7.
  6. Torrejon, 2005, с. 137.
  7. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
  8. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine

Литература

  • Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
  • William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
  • G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America,, 1979.
  • Ricardo M. Torrejon. On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вып. 5.
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.

Ссылки