Сечение многогранников

Сечение многогранника — геометрическая фигура, образованная пересечением плоскости с многогранником. Сечением многогранника является многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны целиком на гранях многогранника. Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то он является сечением многогранника указанной плоскостью.

Плоскость может: не иметь с многогранником общих точек, иметь одну общую точку (вершину), пересекать многоугольник по отрезку, пересекать многогранник по многоугольнику.

Сечение одного и того же многогранника разными плоскостями, может приводить к образованию различных многоугольников например сечение параллелепипеда образует треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники. Для того, чтобы построить сечение нужно знать какие грани многогранника пересекает данная плоскость, определить хотя бы 2 точки пересечения многогранника с гранью. Построить отрезок. Найти пересечения прямой содержащей отрезок с рёбрами многогранника.

Методы построения сечений многогранника

Метод следов. (Если плоскость (ABC) пересекает плоскость (DBC), то прямую BC называют следом плоскости (ABC) на прямую (DBC). Метод следов состоит из 3 пунктов:
- Строится линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
- Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
- Проводится построение сечения

Метод внутреннего проектирования, или метод вспомогательных сечений (метод вспомогательных плоскостей).^[1] при котором строятся различные дополнительные вспомогательные плоскости.

Комбинированный метод.

Координатный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений, состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксонометрическим методом.

Также возможен такой метод:
- Проводятся прямые, лежащие через точки, находящиеся в одной плоскости.
- Проводится поиск отрезков пересечения плоскости с гранями многогранника (ищется точка пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с плоскостью принадлежащей одной грани. Параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.)

Кроме того имеются следующие методы построения многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой.
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.
построение сечения многогранника плоскостью, проходящую через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости.
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.