Сечение (геометрия)

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Конические сечения. Закрашенные части — сечения тела. Их чёрные границы — сечения поверхности.

Сечение в классической геометрии является частным случаем пересечения множеств в математике. Первое множество является плоскостью и называется секущей плоскостью. Второе множество может быть трёхмерным или двумерным. В классической геометрии трёхмерное множество называется телом и определяется своей поверхностью. Поверхность тел задаётся различными движениями и вращениями прямой (конус, цилиндр) или окружности (сфера, тор) или состоит из граней — многоугольников. Основной интерес в геометрии, математике и практических приложениях представляют сечения поверхностей — плоские кривые, которые одновременно являются границами сечений тел.

Определения

Сечение тела

«Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью (то есть общая часть тела и секущей плоскости) называется сечением тела»[1][2].

Сечение поверхности тела

Граница сечения тела называется сечением поверхности тела[3].

Сечение поверхности является кривой — как правило первичным объектом геометрического исследования.

Примеры

  1. Сечение шара — круг.
  2. Сечение сферы (сечение поверхности шара) — окружность.
  3. Если тело и его поверхность одноимённы, например, конус, то при отсутствии уточнения обычно имеют ввиду сечения поверхности. Конические сечения — окружность, эллипс, парабола, гипербола.
  4. Сечения тора — кривые Персея.
  5. Сечение многогранника — многоугольник.

Использование

Топографическая карта — пример использования сечений поверхности для отображения высот местности.

Сечения являются важной составляющей начертательной геометрии. Задолго до европейцев Омар Хайям разработал метод нахождения действительных неотрицательных корней кубических уравнений в виде пересечения двух конических сечений[4].

Если задана непрерывная функция двух переменных z = f(x, y), то сечение этой поверхности плоскостью параллельной плоскости координат (аргументов) называется линией уровня[5]. Такие сечения широко используются в математике для наглядного представления функций двух переменных и как следствие очень широко используется в картографии. Не только для отображения высот местности (собственно геометрия), но и для отображения средних температур, сезонного уровня осадков, атмосферного давления и средней скорости ветра.

Изображение сечений материальных трёхмерных объектов для их конструирования является предметом черчения.

Примечания

  1. ↑ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.,. Геометрия. 7—9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. — Изд. 19-е. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9
  2. ↑ Swokowski, 1983, p. 296
  3. ↑ Albert, 2016, p. 38
  4. ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.
  5. ↑ Swokowski, 1983, p. 716

Литература