Силлогистика

Силлогистика (др.-греч. συλλογιστικός умозаключающий) — теория логического вывода, исследующая умозаключения, состоящие из категорических высказываний (суждений).

В силлогистике рассматриваются, например, выводы заключения из одной посылки (непосредственные умозаключения), «сложные силлогизмы», или полисиллогизмы, имеющие не менее трёх посылок. Однако основное внимание силлогистика уделяет теории категорического силлогизма, имеющего ровно две посылки и одно заключение указанного вида. Классификацию различных форм (модусов) силлогизмов и их обоснование дал основатель логики Аристотель. В дальнейшем силлогистика усовершенствовалась различными школами античных (перипатетики, стоики) и средневековых логиков. Несмотря на ограниченный характер применения, отмечавшийся ещё Ф. Бэконом, Р. Декартом, Дж. С. Миллем и другими учёными, силлогистика долгое время являлась неотъемлемым традиционным элементом «классического» гуманитарного образования, из-за чего её часто называют традиционной логикой. С созданием исчислений математической логики роль силлогистики стала весьма скромной. Оказалось, в частности, что почти всё её содержание (а именно все выводы, не зависящие от характерного для силлогистики предположения о непустоте предметной области) может быть получено средствами фрагмента исчисления предикатов, а именно: одноместного исчисления предикатов. Получен также (начиная с Я. Лукасевича, 1939) ряд аксиоматических изложений силлогистики в терминах современной математической логики.

Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определённым свойством, называется общим (соответственно общеутвердительным или общеотрицательным). Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определённым свойством, называется частным (соответственно частноутвердительным или частноотрицательным). По Аристотелю, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. Самостоятельную роль имеют лишь высказывания последних четырёх типов, поскольку единичноутвердительные и единичноотрицательные высказывания сводятся, соответственно, к общеутвердительным и общеотрицательным при множествах субъекта, состоящих из одного элемента.^[1].

Обычно для обозначения субъекта (класса предметов) высказывания используется символ S, а для предиката (свойства) — P.

В Средние века для высказываний четырёх простых типов стали использовать обозначения с применением гласных букв латинских слов affirmo — утверждаю, и nego — отрицаю^[1]:

для общеутвердительного суждения: «Все предметы класса S обладают свойством P». («Все S суть P».) Символически: SaP — с первой буквой affirmo;

для общеотрицательного суждения «Ни один предмет класса S не обладает свойством P». («Ни один S не есть P».) Символически: SeP — с первой гласной буквой nego;

для частноутвердительного суждения: «Некоторые предметы класса S обладают свойством P». («Некоторые S суть P».) Символически: SiP — с буквой i слова affirmo;

для частноотрицательного суждения: «Некоторые предметы класса S не обладают свойством P». («Некоторые S не суть P».) Символически: SoP — с буквой o слова nego.

Соответственно, типы простых высказываний, относящихся к классам предметов, стали обозначаться буквами латинского алфавита: A — общеутвердительные, E — общеотрицательные, I — частноутвердительные, O — частноотрицательные.

Все эти суждения на языке логики предикатов имеют вид:

${\displaystyle A\colon (\forall x){\bigl (}S(x)\to P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle E\colon (\forall x){\bigl (}S(x)\to \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle I\colon (\exists x){\bigl (}S(x)\land P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle O\colon (\exists x){\bigl (}S(x)\land \lnot P(x){\bigr )}.}$

Эти же формулы можно равносильно преобразовать следующим образом:

${\displaystyle A\colon \lnot (\exists x){\bigl (}S(x)\land \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle E\colon \lnot (\exists x){\bigl (}S(x)\land P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle I\colon \lnot (\forall x){\bigl (}S(x)\to \lnot P(x){\bigr )}.}$

${\displaystyle O\colon \lnot (\forall x){\bigl (}S(x)\to P(x){\bigr )}.}$

Аристотель выделяет важнейший вид дедуктивных умозаключений — так называемые силлогистические умозаключения, или силлогизмы. Аристотелев силлогизм представляет собой схему логического вывода (умозаключения), состоящую из трёх простых высказываний, в каждом из которых имеется по два термина (основные структурные единицы) S,M,P одного из четырёх указанных видов A,E,I,O: первое высказывание является большей посылкой и содержит термины P и M; второе является меньшей посылкой и содержит термины S и M; третье является заключением и содержит термины S и P. В результате, возможно всего 4 типа силлогизмов:^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}{\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure I}}\\[2pt]MxP\\SyM\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure II}}\\[2pt]PxM\\SyM\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure III}}\\[2pt]MxP\\MyS\end{matrix}}{SzP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{Figure IV}}\\[2pt]PxM\\MyS\end{matrix}}{SzP}}\end{array}}}$

Здесь ${\displaystyle x,y,z\in \{a,e,i,o\}}$ и запись SzP (как и MxP и SyM и т. п.) обозначает в зависимости от значения z одно из четырёх суждений видов A,E,I,O. Каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): ${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=64}$. Поскольку фигур 4, то получаем ${\displaystyle 4\cdot 64=256}$ силлогизмов.

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решённая самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, то есть представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные — неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

Для запоминания правильных силлогизмов средневековыми схоластами было придумано следующее мнемотехническое латинское стихотворение:

BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO que prioris;

CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO secundae;

Tertia DARAPTI*, DISAMIS, DATISI, FELAPTON*, BOCARDO, FERISON habet; quarta insuper addit

BRAMANTIP*, CAMENES, DIMARIS, FESAPO*, FRESISON.

Здесь слова, выделенные большими буквами, а точнее, гласные в этих словах, означают суждения A,E,I,O, подставляемые на место x, y, z в каждой фигуре силлогизма (слова в первой строке стиха соответствуют первой фигуре, второй строке — второй и т. д.) То есть для первой фигуры будут верны варианты силлогизмов (т. н. модусы) первой строки BARBARA (AAA), CELARENT (EAE), DARII (AII), FERIO (EIO):

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}{\dfrac {\begin{matrix}{\text{BARBARA}}\\[2pt]MAP\\SAM\end{matrix}}{SAP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{CELARENT}}\\[2pt]MEP\\SAM\end{matrix}}{SEP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{DARII}}\\[2pt]MAP\\SIM\end{matrix}}{SIP}}&\quad {\dfrac {\begin{matrix}{\text{FERIO}}\\[2pt]MEP\\SIM\end{matrix}}{SOP}}\end{array}}}$

аналогично для других фигур силлогизма применяются модусы из строки стиха, соответствующей номеру фигуры.

При этом в аристотелевской логике все классы M, P, S считаются непустыми, то есть имеющими хотя бы один элемент. Пример Рассела: Пусть M означает класс (пустой) «золотые горы», P — класс «золотые объекты», а S — класс «горы» Тогда имеем по модусу DARAPTI третьей фигуры:

Все золотые горы — золотые.

Все золотые горы — горы. -

Следовательно, некоторые горы золотые.

Таким образом из двух верных (тавтологичных) утверждений мы получим отнюдь не тавтологичное, но заведомо неверное утверждение.

Так как в современной математике, физике и даже структурной лингвистике часто работают с пустыми множествами, то в этом случае нельзя применять модусы, выделенные у нас звёздочками (DARAPTI, FELAPTON, BRAMANTIP, FESAPO)^[1].

Описанная формализация придумана в 1950-х годах польским логиком Лукасевичем.^[]

Пусть строчные латинские буквы a, b, c,… обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы A и I — два силлогических бинарных отношения: Aab: «Всякое a есть b», Iab: «Некоторое a есть b».

Понятие формулы даётся посредством следующего индуктивного определения:

1) Aab и Iab — простые (или атомарные) формулы силлогистики;

2) если ${\displaystyle F,G}$ — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также ${\displaystyle (F\wedge G),(F\vee G),(F\to G),(\neg F)}$;

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Формулировка аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, так что его аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:

${\displaystyle (FS1)\colon Aaa;}$

${\displaystyle (FS2)\colon Iaa;}$

${\displaystyle (FS3)\colon (Abc\wedge Aab)\to Aac}$ (силлогизм Barbara);

${\displaystyle (FS4)\colon (Abc\wedge Iba)\to Iac}$ (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введём ещё два силлогических бинарных отношения E' и O: Eab означает ${\displaystyle \neg Iab}$, Oab означает ${\displaystyle \neg Aab}$.

В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики FS принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:^[]

• Категорический силлогизм

Энциклопедии

• Силлогистика : [арх. 3 января 2023] / В. И. Маркин // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• В. А. Бочаров. Силлогистика // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.
• Радлов Э. Л. Силлогизм // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Силлогизм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Книги

• Аристотель. Сочинения: В 4 т.. — М., 1976—1981.
• Ахманов А. С. Логическое учение Аристотеля. — М., 1960.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения формальной логики: Пер. с англ.. — М., 1959.