Символ Гильберта

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из в группу корней -й степени из единицы в локальном поле (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть  — локальное поле, а  — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над  — это функция из в , определённая как

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля :

  • для любых .
  • для любых .
  • Для любого , такого что , верно, что

Бимультипликативность, то есть

для любых . Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора , которая определяется как

По первому свойству он even factors над . Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над с базисом и правилами умножения , , .

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) из поля рациональных чисел и рациональных чисел обозначим символ Гильберта в соответствующем пополнении . Как обычно, если это показатель, связанный с простым числом , то соответствующее пополнение является полем -адических чисел, а если является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, тогда и только тогда, когда или , и , если оба .

Над -адическими числами с нечётным положим и , где  — целые числа, взаимно простые с , тогда мы получим

, где

а  — символы Лежандра.

Над -адическими числами положим и , где  — нечётные числа, тогда мы получим

, where

Известно, что если пробегает все точки (англ. place), для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле определяется как отображение

где  — группа Брауэра поля . Ядро этого отображения — множество всех элементов таких, что для всех  — это радикал Капланского поля .[1]

Радикал является подгруппой , отождествляемой с подгруппой of . Радикал содержит группу, равную если и только если не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2.[2] С другой стороны, поле с радикалом называется полем Гильберта.[3]

Символ Гильберта в общем случае

Если локальное поле, содержащее группу корней -й степени из единицы для некоторого , взаимно простого с характеристикой , то символ Гильберта — это функция из в . Его можно выразить через символ Артина как[4]

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

кососимметричен:

невырожден:

для всех тогда и только тогда, когда

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

тогда и только тогда, когда  — норма элемента из

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни -й степени из единицы, то[5]

где пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а  — это символ Гильберта в пополнении по . Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если  — числовое поле, содержащее корни -й степени из единицы,  — простой идеал, не делящий ,  — простой элемент локального поля от , а взаимно просто с , то символ степенного вычета , связанный с символом Гильберта соотношением[6]

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая , где  — главный идеал, порождённый . Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых друг к другу и к :

Примечания

  1. Lam (2005) pp.450-451
  2. Lam (2005) p.451
  3. Lam (2005) p.455
  4. Neukirch (1999) p.333
  5. Neukirch (1999) p.334
  6. Neukirch (1999) p.336

Литература

  • З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
  • Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.
  • К.Ивасава. Локальная теория полей классов. — М.:Мир, 1983.
  • Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkorper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 4: 175—546, ISSN 0012-0456
  • Hilbert, David (1998), The theory of algebraic number fields, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901
  • Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, Zbl 1068.11023
  • Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005
  • Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Translated from the German by Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021
  • Serre, Jean-Pierre (1996), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90040-5, Zbl 0256.12001
  • Vostokov, S. V.; Fesenko, I. B. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, Zbl 1156.11046

Ссылки