Символ оператора

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Символ оператора — функция, ассоциированная с оператором и отражающая те или иные его свойства. Как правило символы задаются для операторов, принадлежащих некоторой алгебре. В таком случае отображение из элементов алгебры в их символы является линейным, то есть при сложении операторов и их умножении на число соответствующие символы также складываются и умножаются на то же число. При умножении операторов их символы обычно умножаются с точностью до членов, считающихся в определённом смысле младшими. Символ оператора часто является числовой функцией числовых переменных, но бывает и что он принимает значения в некоторой алгебре, более простой чем исходная.

Функции операторов, упорядоченных фейнмановскими номерами

Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:

означает, что оператор действует первый, а оператор вторым, то есть

Пространство полиномиальных символов

Пусть задана операторная алгебра

 — множество многочленов от переменных. Пусть определено отображение

которое сопоставляет многочлену :

оператор

Функция называется символом оператора

Общее определение

Пусть  — некоторый класс функций от переменных , содержащий полиномы . Пусть задано отображение

Со следующими свойствами:

  1. Отображение линейно.
  2. гомоморфизм алгебр с единицей, причём если , то .
  3. Если , то

Функция называется символом оператора

Литература

  • Маслов В. П., Операторные методы, М., 1973
  • Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа, М.: Техносфера, 2002
  • Символ оператора — статья из Математической энциклопедии. М. А. Шубин