Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора ${\displaystyle T_{ij}}$ — это симметричный тензор ${\displaystyle \scriptstyle T_{(ij)}={1 \over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)}$, а антисимметризация — антисимметричный тензор ${\displaystyle \scriptstyle T_{[ij]}={1 \over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)}$.

Операция симметризации:

${\displaystyle A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}}$.

Суммирование ведётся по всем перестановкам ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{k})}$ индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

${\displaystyle A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})}$.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

${\displaystyle A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatorname {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}}$.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{k})}$ индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки ${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$. Примеры:

${\displaystyle A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})}$;

${\displaystyle A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m}-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})}$.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель ${\displaystyle {\frac {1}{k!}}}$ в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

• Если ${\displaystyle T_{i_{1}\ldots i_{n}}}$ симметричен по ${\displaystyle i_{1}\ldots i_{n},}$ то симметризация по этим индексам совпадает с ${\displaystyle T,}$ а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности ${\displaystyle T}$ по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с ${\displaystyle T}$, а симметризация даст нулевой тензор.
• Если ${\displaystyle T_{ij}\in V\otimes V,}$ то ${\displaystyle T_{(ij)}\in V\vee V,}$ ${\displaystyle T_{[ij]}\in V\wedge V.}$ Здесь ${\displaystyle \vee }$ — симметричное, а ${\displaystyle \wedge }$ — внешнее произведение векторных пространств.