Симметрическое пространство

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Симметрическое пространствориманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

Определение

Пусть связное Риманово многообразие и —точка в .

Отображение называется геодезической симметрией с центром в точке , если

Отображение , определённое на -окрестности точки , называется локальной геодезической симметрией с центром в точке , если

при .

Риманово многообразие называется  симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией .

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

  • Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
    • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
    • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

  • Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.
  • Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.
  • Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
    • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
    • Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным , ниже дана классификация через и , обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение GKРазмерность Ранг Геометрическое описание
AI n − 1 Пространство всех вещественных структур на сохраняющих комплексный определитель
AII n − 1 Пространство кватернионных структур на с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII min(p,q) Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в
BDI min(p,q) Грассманиан ориентированных p-мерных
DIII [n/2] Пространство ортогональных комплексных структур на
CI nПространство комплексных структур на сохраняющих скалярное произведение
CII min(p,q) Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в
EI 42 6
EII 40 4 Пространство симметрических подпространств в исометричных
EIII 32 2 Комплексифицированная проективная плоскость Келли
EIV 26 2 Пространство симметрических подпространств в изометричных
EV 70 7
EVI 64 4
EVII 54 3 Пространство симметрических подпространств в изоморфных
EVIII 128 8
EIX 112 4 Пространство симметрических подпространств в изоморфных
FI 28 4 Пространство симметрических подпространств в изоморфных
FII 16 1 плоскость Кэли
G 8 2 Пространство подалгебр алгебры Кэли изоморфные алгебре Кватернионов

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства , где группа Ли и

для некоторой инволюции .

  • Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция группы изометрий пространства определяется как
    • Обратное верно, если компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

Слабо симметрические пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки в и касательного вектора в , есть изометрия , зависящая от в , такая, что

  • фиксирует ;
  • .

Если можно выбрать независимо от , то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли[1].

Сферические пространства

Компактное однородное пространство называется сферическим, если любое неприводимое представление группы имеет не более одного инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.[2][3][4][5]

Эрмитовы симметрические пространствах

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.

Примечания

  1. Akhiezer, D. N.; Vinberg, E. B. (1999), "Weakly symmetric spaces and spherical varieties", Transf. Groups, 4: 3–24, doi:10.1007/BF01236659
  2. M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
  3. И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
  4. M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
  5. F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Архивная копия от 16 декабря 2019 на Wayback Machine The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

Литература

  • Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
  • Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
  • Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.