Симплициальная сфера

Симплициальная (или комбинаторная) d-сфера — это симплициальный комплекс, гомеоморфный d-мерной сфере. Некоторые симплициальные сферы появляются как границы выпуклого многогранника, однако в более высоких размерностях большинство симплициальных сфер не может быть получено таким образом.

Наиболее важная открытая проблема этой области — g-гипотеза, сформулированная Питером Макмалленом^[англ.], который задал вопрос о возможном числе граней различных размерностей симплициальной сферы. В декабре 2018 Karim Adiprasito доказал гипотезу для всех d ^[1].

• Для любого n ⩾ 3 простой n-цикл C_n является симплициальной окружностью, то есть симплициальной сферой размерности 1. Это построение даёт все симплициальные окружности.
• Граница выпуклого многогранника в R³ с правильными гранями, такого как октаэдр или икосаэдр, является 2-сферой.
• Более общем случае, граница любого (d+1)-мерного компактного (или ограниченного) симплициального выпуклого многогранника в евклидовом пространстве является симплициальной сферой.

Из формулы Эйлера следует, что любая симплициальная 2-сфера с n вершины имеет 3n − 6 рёбер и 2n − 4 граней. Случай n = 4 реализуется в виде тетраэдра. При повторном осуществлении барицентрического подразделения легко построить симплициальные сферы для любого n ⩾ 4. Однако Эрнст Штайниц дал описание 1-скелетов (графов рёбер) выпуклых многогранников в R³, из которого следует, что любая симплициальная 2-сфера является границей выпуклого многогранника.

Бранко Грюнбаум построил пример симплициальной сферы, не являющейся границей многомерного многогранника. Гиль Калай^[англ.] доказал, что, фактически, «большая часть» симплициальных сфер не являются границами многогранников. Наименьший пример существует в размерности d = 4 и имеет f₀ = 8 вершин.

Теорема о верхней границе даёт верхние границы для числа f_i i-граней любой симплициальной d-сферы с f₀ = n вершинами. Гипотезу доказал для полиэдральных сфер в 1970 Питер Макмаллен^{[англ.][2]}, а для общих симплициальных сфер в 1975 — Ричард Стэнли^[англ.].

Сформулированная Макмалленом в 1970 году g-гипотеза ставит вопрос о полном описании f-векторов симплициональных d-сфер. Другими словами, каковы возможные наборы числа граней каждой размерности симплициальной d-сферы? Для полиэдральных сфер ответ даёт g-теорема, которую доказали в 1979-м Биллера и Ли (существование) и Стэнли (необходимость). Было высказано предположение, что те же самые условия необходимы для общих симплициональных сфер. На 2015 год гипотеза оставалась открытой для d=5 и выше. В декабре 2018 Karim Adiprasito доказал гипотезу для всех d ^[1].

• Уравнения Дена — Сомервиля