Скользящая средняя (фильтр)

Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее — разновидность цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) либо фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) (в случае экспоненциальной скользящей средней), используется для обработки сигналов и изображений, в системах автоматического управления и для других прикладных целей.

Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящего среднего, является уравнением КИХ-фильтра.

Пусть ${\displaystyle x_{n}}$ — входной сигнал фильтра, ${\displaystyle y_{n}}$ — выходной сигнал, ${\displaystyle P}$ — порядок фильтра, ${\displaystyle b_{i}}$ — весовые коэффициенты отсчётов. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

${\displaystyle y_{n}=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x_{n-i}.}$

Отличительной особенностью фильтра скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов ${\displaystyle b_{i}}$:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{P}b_{i}=1.}$

Последнее выражение нормировки коэффициентов отличает скользящее среднее от других КИХ-фильтров. В частности, для простого скользящего среднего весовые коэффициенты отсчётов имеют следующий вид:

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{P+1}}}$ для ${\displaystyle i=0,1,\dots ,P}$

Для того, чтобы найти импульсную переходную функцию фильтра скользящего среднего дискретные отсчёты заменяются дельта-функцией ${\displaystyle \delta (n)}$:

${\displaystyle x_{n}=\delta (n).}$

Тогда импульсная характеристика такого фильтра может быть записана как:

${\displaystyle h(n)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta (n-i).}$

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию:

${\displaystyle H(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}.}$

• Среднее арифметическое взвешенное

• Стивен Смит. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.