Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

Определение

Пусть $A$ и $B$ линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из $A$ в $B$ есть непрерывное отображение $f:A\to B$ такое, что индуцированные отображения $f_{n}:\pi _{n}(A,a_{0})\to \pi _{n}(B,b_{0})$ биективны при всех $n\geq 1$ для некоторой (а значит для любой) пары точек $b_{0}=f(a_{0})$ .

Свойства

Существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$ , вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $B\to A$ .

Изоморфность групп $\pi _{n}A$ и $\pi _{n}B$ вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$ .

Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.^[1]

Примечания

↑ P. Alexandroff. „Diskrete Räume.“ Матем. сб. 2 (1937), S. 501–519.

Похожие исследовательские статьи

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $\text{[math]}$ , непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $\text{[math]}$ .

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Хирургия, или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности $\text{[math]}$ на множестве $\text{[math]}$ , обозначается $\text{[math]}$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Гомотопи́ческие гру́ппы — инвариант топологических пространств, одно из основных понятий алгебраической топологии.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.

Псевдоокружность — конечное топологическое пространство, неотличимое от окружности с точки зрения алгебраической топологии.

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы $\text{[math]}$ кроме $\text{[math]}$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

<span class="mw-page-title-main">Конфигурационное пространство (топология)</span>

Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.

<span class="mw-page-title-main">Первая группа гомологий</span>

Первая группа гомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из петель в этом пространстве, рассматриваемых с точностью до гомологичности. Такие петли описывают форму пространства и измеряют количество его дыр. Первая группа гомологий является простейшим вариантом групп гомологий топологического пространства — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом групп когомологий — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.