Смешанное уравнение

Смешанные уравнения (уравнения смешанного типа) — класс дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, являющихся гиперболическими в одной области пространства переменных и эллиптическими — в другой. Эти области разделены линией (в случае двух независимых переменных) или поверхностью (в случае трёх и более независимых переменных), в точках которой уравнение относится к параболическому типу или не определено. Эта линия (поверхность) называется линией (поверхностью) смены типа или линией (поверхностью) вырождения.

В случае двух независимых переменных линия вырождения является дискриминантной кривой уравнения характеристик. Широкий класс этих уравнений может быть представлен в виде: ${\displaystyle y{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+a(x,y){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y){\frac {\partial z}{\partial y}}+c(x,y)z+d(x,y)=0.}$^[1]

По сравнению с уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов, теория смешанных уравнений имеет сравнительно недолгую историю. Впервые смешанные уравнения с двумя независимыми переменными были систематически исследованы итальянскими математиками Ф. Трикоми и М. Чибрарио. В СССР уравнения смешанного типа изучались многими математиками, в частности, им уделялось большое внимание в школах М. А. Лаврентьева и А. В. Бицадзе. Уравнения смешанного типа нашли многочисленные применения — например, в задачах, связанных с трансзвуковой газовой динамикой.

Простейший пример смешанного уравнения — уравнение Трикоми (иногда называемое также уравнением Эйлера — Трикоми):

${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}}$,

относящееся к гиперболическому типу в области ${\displaystyle x>0}$ и к эллиптическому типу — в области ${\displaystyle x<0.}$ Линия смены типа уравнения Трикоми совпадает с осью y, а уравнение характеристик совпадает с так называемой нормальной формой Чибрарио. Характеристики образуют семейство полукубических парабол, лежащих в гиперболической области с точками возврата на линии смены типа.

• Газ Трикоми

• Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. — М.: ОГИЗ, 1947. — 191 с.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
• Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, — Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
• Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа, — Докл. АН, 70:3 (1950), 373–376.
• Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
• Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
• Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике, — Изд. ЛГУ, 1990.
• F. G. Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivate parziali di tipo misto, — Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Mat. 12 (1953), 37-52.
• C. Ferrari, F. G. Tricomi. Transsonic Aerodynamics, — Academic Press, New York, 1968.
• Рихард фон Мизес. Математическая теория течений сжимаемой жидкости, — Москва, 1961.
• Lipman Bers. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics, Surveys in Applied Mathematics. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 p. (1958).