Смещение вследствие пропущенных переменных

Смещение вследствие пропущенных переменных (англ. Omitted variable bias) — явление в регрессионном анализе, связанное с получением, смещённых и несостоятельных оценок регрессионных коэффициентов вследствие некорректной спецификации модели, а именно невключения в оцениваемую модель независимых переменных, оказывающих причинно-следственное влияние на зависимую переменную, или невозможности включить в неё некую ненаблюдаемую независимую переменную.

Формальный вывод

Представим, что истинная регрессионная модель выглядит следующим образом:

y=\mathrm {x} '\beta +\gamma z+\epsilon ,

где $y$ — вектор отклика, $x$ и $z$ — матрица и вектор независимых переменных. При условии, что $cor(x,~\epsilon )=0$ и $cor(z,~\epsilon )=0$ , то оценки $\beta$ и $\gamma$ соответственно будут МНК-оценками регрессионной зависимости отклика от независимых переменных. В частности, ${\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$ (где $X$ — объединённая матрица независимых переменных).

Чтобы смоделировать смещение вследствие пропущенных переменных, опустим предиктор $z$ , включив его в состав нескоррелированной с $x$ части модели:

y=\mathrm {x} '\beta +(\gamma z+\epsilon ),\quad

где

cor(x,~(\gamma z+\epsilon ))\neq 0

Тогда МНК-оценки коэффициентов при предикторах будут несостоятельны в сравнении с истинным коэффициентом $\beta$ :

{\hat {\beta }}=\beta +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\gamma +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )

Поскольку, согласно допущению изначальной модели, $cor(x,~\epsilon )=0$ , то $\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )\right)=0$ , тогда как

\mathrm {plim} ({\hat {\beta }})=\beta +\delta \gamma ,\quad

откуда

\delta =\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\right)

Литература

Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: methods and applications. – Cambridge university press, 2005. — 1034 p. — P. 92-93.
Wooldridge J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. – South-Western College Pub, 2002. — 819 p. — P. 87-92, 165-166.

Похожие исследовательские статьи

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму.

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Ме́тод моме́нтов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.

Регрессио́нный анализ — набор статистических методов исследования влияния одной или нескольких независимых переменных $\text{[math]}$ на зависимую переменную $\text{[math]}$ . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными или регрессантами. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Наиболее распространённый вид регрессионного анализа — линейная регрессия, когда находят линейную функцию, которая, согласно определённым математическим критериям, наиболее соответствует данным. Например, в методе наименьших квадратов вычисляется прямая, сумма квадратов между которой и данными минимальна.

Регре́ссия (лат. regressio — обратное движение, отход) в теории вероятностей и математической статистике — односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными, то есть математическое выражение, отражающее связь между зависимой переменной у и независимыми переменными х при условии, что это выражение будет иметь статистическую значимость. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении $\text{[math]}$ наблюдается $\text{[math]}$ значений y_i1…y_{in_i} величины y, то зависимость средних арифметических $\text{[math]}$ от $\text{[math]}$ и является регрессией в статистическом понимании этого термина.

Критерий Дарбина—Уотсона — статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей.

Авторегрессионная условная гетероскедастичность — применяемая в эконометрике модель для анализа временных рядов, у которых условная дисперсия ряда зависит от прошлых значений ряда, прошлых значений этих дисперсий и иных факторов. Данные модели предназначены для «объяснения» кластеризации волатильности на финансовых рынках, когда периоды высокой волатильности длятся некоторое время, сменяясь затем периодами низкой волатильности, причём среднюю волатильность можно считать относительно стабильной.

Обобщённый метод наименьших квадратов — метод оценки параметров регрессионных моделей, являющийся обобщением классического метода наименьших квадратов. Обобщённый метод наименьших квадратов сводится к минимизации «обобщённой суммы квадратов» остатков регрессии — $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — вектор остатков, $\text{[math]}$ — симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем обобщённого, когда весовая матрица пропорциональна единичной.

Тест Бройша — Пагана или Бреуша — Пагана — один из статистических тестов для проверки наличия гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной модели. Применяется, если есть основания полагать, что дисперсия случайных ошибок может зависеть от некоторой совокупности переменных. При этом в данном тесте проверяется линейная зависимость дисперсии случайных ошибок от некоторого набора переменных.

Метод инструментальных переменных — метод оценки параметров регрессионных моделей, основанный на использовании дополнительных, не участвующих в модели, так называемых инструментальных переменных. Метод применяется в случае, когда факторы регрессионной модели не удовлетворяют условию экзогенности, то есть являются зависимыми со случайными ошибками. В этом случае, оценки метода наименьших квадратов являются смещенными и несостоятельными.

Тест Глейзера — статистический тест, позволяющий оценить наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной (эконометрической) модели.

Тест Парка - статистический тест, используемый для проверки гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной (эконометрической) модели.

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

<span class="mw-page-title-main">Анализ полных наблюдений</span> статистический метод обработки данных

Анализ полных наблюдений — статистический метод обработки пропущенных данных, основанный на удалении всех наблюдений с неполными признаковыми описаниями. Считается самым простым способом разрешения проблемы пропущенных данных.

Фиксированные эффекты с разложением вектора — разновидность регрессионного анализа на панельных данных с фиксированными эффектами, позволяющая измерять эффекты не изменяющихся во времени предикторов вместе с фиксированными эффектами групп наблюдений. Первоначально метод был предложен в статье.

Фиксированные эффекты с индивидуальными наклонами — разновидность регрессионного анализа на панельных данных с фиксированными эффектами, позволяющая получать оценки не только индивидуального эффекта в общей константе модели, но и вводить характерные для индивидов в выборке наклоны для независимой переменной. FEIS-оценки были впервые введены в статье.

Байесовская линейная регрессия — это подход в линейной регрессии, в котором статистический анализ проводится в контексте байесовского вывода: когда регрессионная модель имеет ошибки, имеющие нормальное распределение, и, если принимается определённая форма априорного распределения, доступны явные результаты для апостериорных распределений вероятностей параметров модели.

Криптосистема Миччанчо — криптосистема, основанная на схеме шифрования GGH, была предложена в 2001 году профессором Университета Калифорнии в Сан-Диего Даниелем Миччанчо.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.