Совершенная группа

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа^[1] ― группа $G$ , такая что отображение $G\to Aut(G)$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент $g\in G$ в автоморфизм сопряжения $s_{g}:h\to ghg^{-1}$ . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы $S_{n}$ при $n\neq 2,6$ (теорема Гёльдера); при этом группа $S_{2}=\mathbb {Z} _{2}$ имеет нетривиальный центр, а у группы $S_{6}$ существует внешний автоморфизм^[англ.].

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой $G=Aut(G)$ , но которая не является совершенной, является группа диэдра $D_{4}$ ^[2].

Примечания

↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 2-е изд. — Москва: Наука, 1977. — С. 62. — 240 с.
↑ Robinson, section 13.5

Литература

Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

Ссылки

Joel David Hamkins^[англ.]: How tall is the automorphism tower of a group?

Похожие исследовательские статьи

Изоморфи́зм — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

\text{[math]}

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Группа кос — группа, образованная для заданного $\text{[math]}$ всеми косами из $\text{[math]}$ нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Автоморфизм</span> изоморфизм математического объекта с самим собой

Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов, которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа $\text{[math]}$ и факторгруппа $\text{[math]}$ , и ищется расширение $\text{[math]}$ такое, что $\text{[math]}$ , или, что эквивалентно, такая $\text{[math]}$ , что существует короткая точная последовательность:

\text{[math]}

Диаграмма Дынкина — вид графов, в которых некоторые рёбра удвоены или утроены. Кратные рёбра, с некоторыми ограничениями, являются ориентированными. Названы по имени советского математика Евгения Дынкина, впервые применившего их в 1946 году.

Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы, определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом. Формально, если G — группа, а a — элемент группы G, то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f(x) = a⁻¹xa.

Автоморфизм группы — биективный гомоморфизм группы на себя.

<span class="mw-page-title-main">Дистанционно-транзитивный граф</span> такой граф, что для любых двух заданных вершин v и w, находящихся на расстоянии i, и любых двух вершин x и y, находящихся на том же расстоянии, су

Дистанционно-транзитивный граф — граф, в котором любая упорядоченная пара вершин переводится в любую другую упорядоченную пару вершин с тем же расстоянием между вершинами одним из автоморфизмов графа.

Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

\text{[math]}

Бинарная группа икосаэдра 2I или <2,3,5> — это неабелева группа порядка 120. Группа является расширением группы икосаэдра I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и является прообразом группы икосаэдра при 2:1 накрывающем гомоморфизме

\text{[math]}

Группа Конвея Co₁ — это спорадическая простая группа порядка

\text{[math]}

= 4157776806543360000

≈ 4⋅10¹⁸.

Термин цоколь имеет несколько связанных значений в математике.

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением подгруппы N и факторгруппы G/N.

Мультипликатор Шура является второй гомологией групп $\text{[math]}$ группы G. Его ввёл Исай Шур в работе по проективным представлениям.

Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co₁, Co₂ и Co₃ вместе со связанной с ними конечной группой Co₀.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.