Соответствие Галуа

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка➤.

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойства^[1]. Изначальное определение — антимонотонное➤, впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определение➤.

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Соответствие Галуа широко используется в приложениях, в частности, играет основополагающую роль в анализе формальных понятий (методологии анализа данных средствами теории решёток).

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ и ${\displaystyle \psi :B\to A}$ между частично-упорядоченными множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, удовлетворяющая следующими соотношениям:

• если ${\displaystyle a\leqslant a'}$, то ${\displaystyle \varphi (a)\geqslant \varphi (a')}$ (антимонотонность ${\displaystyle \varphi }$),
• если ${\displaystyle b\leqslant b'}$, то ${\displaystyle \psi (b)\geqslant \psi (b')}$ (антимонотонность ${\displaystyle \psi }$),
• ${\displaystyle \psi (\varphi (a))\geqslant a}$ (экстенсивность ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$),
• ${\displaystyle \varphi (\psi (b))\geqslant b}$ (экстенсивность ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$).

Композиции ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ и ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$ оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности (${\displaystyle (\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi }$ и ${\displaystyle (\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi }$), таким образом, являются замыканиями на ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle A}$ соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ следующему условию (Юрген Шмидт^[нем.], 1953^[2][3]): ${\displaystyle b\leqslant \varphi (a)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\leqslant \psi (b)}$.

По аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностями^[4].

Монотонные функции ${\displaystyle \gamma :A\to B}$ и ${\displaystyle \delta :B\to A}$ находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

• ${\displaystyle \gamma (\delta (b))\geqslant b}$,
• ${\displaystyle \delta (\gamma (a))\leqslant a}$.

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта: ${\displaystyle b\leqslant \gamma (a)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \delta (b)\leqslant a}$, часто оно принимается за начальное определение^[5].

В случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторы➤. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении — ${\displaystyle \gamma }$, и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева (${\displaystyle \delta }$). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция ${\displaystyle \delta \circ \gamma }$, при этом композиция ${\displaystyle \gamma \circ \delta }$ замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным оператором^[6] или козамыканием).

Всякое частично-упорядоченное множество ${\displaystyle (A,\leqslant )}$ может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов ${\displaystyle a,a'\in A}$ множество морфизмов ${\displaystyle \mathrm {Hom} (a,a')}$ состоит из единственного морфизма, если ${\displaystyle a\leqslant a'}$ и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, отображения ${\displaystyle \gamma :A\to B}$ и ${\displaystyle \delta :B\to A}$, находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения ${\displaystyle \varphi :A\to B^{\mathrm {op} }}$ и ${\displaystyle \psi :B\to A^{\mathrm {op} }}$ (${\displaystyle A^{\mathrm {op} }}$ — категория, двойственная ${\displaystyle A}$, то есть, полученная обращением морфизмов)^[7].

Соответствие Галуа, как в антимонотонной, так и в монотонной форме, может быть подвергнуто операции композиции — если заданы находящиеся в соответствии Галуа пары отображений ${\displaystyle (\varphi _{1}:A\to B,\psi _{1}:B\to A)}$ и ${\displaystyle (\varphi _{2}:B\to C,\psi _{2}:C\to B}$, то композиция:

${\displaystyle (\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1},\psi _{1}\circ \psi _{2})}$

вновь является соответствием Галуа.

В теории Галуа устанавливается соответствие между системой промежуточных подполей алгебраического расширения поля ${\displaystyle L\supset K}$ и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.

Пример из теории Галуа может быть естественно обобщен: вместо группы автоморфизмов поля можно рассматривать произвольную группу ${\displaystyle G}$, действующую на множестве ${\displaystyle U}$ отображением ${\displaystyle \cdot :G\times U\to U}$, и отображения между упорядоченными по включению булеанами ${\displaystyle {\mathcal {P}}U}$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}G}$. В этом случае отображения ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G}$ и ${\displaystyle \psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U}$, определяемые следующим образом:

${\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}}$ (выделяет подгруппу в ${\displaystyle G}$, оставляющую на месте все точки ${\displaystyle u\in X}$ при действии ${\displaystyle \cdot }$),

${\displaystyle \psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}}$ (сопоставляет множеству ${\displaystyle S\subseteq G}$ множество неподвижных точек автоморфизмов при действии ${\displaystyle \cdot }$)

находятся в антимонотонном соответствии Галуа^[7].

Следующее обобщение состоит в рассмотрении произвольных множеств, между которыми задано произвольное бинарное отношение ${\displaystyle \star \subseteq A\times B}$ и отображений между булеанами этих множеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}A}$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}B}$, определяемых таким образом:

${\displaystyle \varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\}}$,

${\displaystyle \psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\}}$.

В этом случае ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ также находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

C упорядоченным по включению булеаном произвольного множества ${\displaystyle {\mathcal {P}}A}$ и с некоторым зафиксированным его подмножеством ${\displaystyle F\subseteq A}$ может быть связано монотонное соответствие Галуа между отображениями ${\displaystyle \varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A}$, задаваемыми следующим образом:

${\displaystyle \varphi (X)=F\cap X}$,

${\displaystyle \psi (X)=X\cup (A\setminus F)}$.

Такое соотношение может быть установлено в любой алгебре Гейтинга, в частности, во всякой булевой алгебре (в булевых алгебрах в терминах алгебры логики роль верхней сопряжённой функции играет конъюнкция, а нижней сопряжённой — материальная импликация).

• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 567 с.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott. Galois Connections // Continuous Lattices and Domains. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — С. 22—35. — 629 с. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1981. — 456 с.
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Øystein Ore. Galois Connexions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 55. — P. 493—513. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7.