Соотношение Фабер — Джексона

Соотношение Фабер — Джексона — эмпирическое степенное соотношение, связывающее светимость ${\displaystyle L}$ и центральную дисперсию скоростей ${\displaystyle \sigma }$ эллиптических галактик, впервые полученное астрономами Сандрой Фабер и Робертом Джексоном в 1976 году. Данное соотношение можно представить в виде

${\displaystyle L\propto \sigma ^{\gamma }}$,

где показатель степени ${\displaystyle \gamma }$ приблизительно равен 4, но зависит от диапазона светимостей, в который вписано соотношение. Данную зависимость можно рассматривать как проекцию фундаментальной плоскости эллиптических галактик.

Соотношение Фабер — Джексона можно применять для приблизительного определения расстояния до галактик.

Гравитационный потенциал массы ${\displaystyle M}$, распределённой в объёме радиуса ${\displaystyle R}$, имеет вид

${\displaystyle U=-\alpha {\frac {GM^{2}}{R}},}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная, зависящая от профиля плотности объекта, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная. В случае постоянной плотности ${\displaystyle \alpha \ ={\frac {3}{5}}}$.

Кинетическая энергия (${\displaystyle \sigma }$ — одномерная дисперсия скоростей, ${\displaystyle 3\sigma ^{2}=V^{2}}$):

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}MV^{2},}$

${\displaystyle K={\frac {3}{2}}M\sigma ^{2}.}$

Из теоремы вириала (${\displaystyle 2K+U=0}$) следует

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{5}}{\frac {GM}{R}}.}$

Если предположить, что отношение масса-светимость является постоянным, то есть ${\displaystyle M\propto L}$, то соотношение, связывающее ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, будет иметь вид

${\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}.}$

Введём понятие поверхностной яркости ${\displaystyle B=L/(4\pi R^{2})}$ и предположим, что она постоянна:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}B.}$

Пользуясь данным предположением, получим

${\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B,}$

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}},}$

что означает ${\displaystyle L\propto \sigma ^{4}.}$

В реальности предположение постоянной поверхностной яркости не выполняется. Поверхностная яркость имеет максимальное значение при ${\displaystyle M_{V}=-23}$. Для менее массивных галактик ${\displaystyle L\propto \sigma ^{3.1}}$, для более массивных галактик ${\displaystyle L\propto \sigma ^{15.0}.}$ Таким образом, фундаментальная плоскость разделяется на две части, наклоненные относительно друг друга примерно на 11 градусов.

Как и зависимость Талли — Фишера в случае спиральных галактик, соотношение Фабер — Джексона предоставляет возможность определять расстояние до галактики, связывая его с более простыми для измерения характеристиками. Для эллиптических галактик измерение центральной дисперсии скоростей по доплеровскому сдвигу спектральных линий позволяет на основе соотношения Фабер — Джексона получить оценку светимости галактики. Сопоставление светимости и видимой звёздной величины позволяет найти модуль расстояния до галактики и, следовательно, само расстояние.

• Статья Faber & Jackson (1976)
• D. Gudehus: пересмотр соотношения Фабер — Джексона