Соотношение Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно-кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макропараметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

${\displaystyle D=\mu _{p}k_{B}T,}$

где ${\displaystyle D}$ — коэффициент диффузии, ${\displaystyle \mu _{p}}$ — подвижность частиц, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, а ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура.

Величина подвижности ${\displaystyle \mu _{p}}$ определяется из соотношения

${\displaystyle \mu _{p}=V/F,}$

где ${\displaystyle V}$ — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы ${\displaystyle F}$.

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

${\displaystyle F=6\pi \eta rV,}$

где ${\displaystyle \eta }$ — вязкость жидкости, ${\displaystyle r}$ — радиус частицы.

Таким образом, получается выражение:

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \eta r}},}$

называемое соотношением (формулой) Стокса — Эйнштейна.

Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.

Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

${\displaystyle D_{\mathrm {rot} }={\frac {k_{B}T}{8\pi \eta r^{3}}}.}$

• Уравнение Ланжевена