Соприкасающаяся кривая

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Кривая C содержит точку P, в которой радиус кривизны равен r. В точке P к кривой проведена касательная. Соприкасающаяся окружность касается кривой C в точке P

Соприкасающаяся кривая — в дифференциальной геометриикривая, принадлежащая определённому семейству и имеющая наивысший возможный порядок касания с другой кривой. Другими словами, если F является семейством гладких кривых, C является гладкой кривой (не обязательно принадлежащей F), а p представляет точку на C, то соприкасающаяся кривая из F в точке p является такой кривой семейства F, что она проходит через точку p и имеет наибольшее возможное число производных в точке p, равных производным C.[1][2]

Термин происходит от латинского слова "osculum" (поцелуй), поскольку в этом случае две кривые проходят более тесно друг к другу, чем при простом касании.[3]

Примеры

Ниже приведён ряд примеров соприкасающаяся кривых различных порядков.

  • Касательная к кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства прямых. Касательная имеет общую с кривой C первую производную, то есть обладает касанием первого порядка.[1][2][4]
  • Соприкасающаяся окружность кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства окружностей. Соприкасающаяся окружность обладает общими первой и второй производной (наклон и кривизна) с кривой C.[1][2][4]
  • Соприкасающаяся парабола кривой C в точке p является оскулирующей кривой из семейства парабол и имеет касание третьего порядка с данной кривой C.[2][4]
  • Соприкасающаяся коническое сечение кривой C в точке p является соприкасающейся кривой из семейства конических сечений и имеет касание четвёртого порядка с данной кривой C.[2][4]

Обобщения

Понятие соприкасающаяся кривой можно обобщить на пространства более высоких размерностей и для объектов, не являющихся кривыми в таких пространствах. Например, соприкасающаяся плоскость для пространственной кривой представляет собой плоскость, обладающую касанием второго порядка с данной кривой. В общем случае это наиболее высокий порядок.[5]

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 Rutter, J. W. (2000), Geometry of Curves, CRC Press, pp. 174—175, ISBN 9781584881667, Архивировано из оригинала 5 января 2014, Дата обращения: 22 июня 2017.
  2. ↑ 1 2 3 4 5 Williamson, Benjamin (1912), An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples, Longmans, Green, p. 309, Архивировано из оригинала 4 декабря 2017, Дата обращения: 22 июня 2017.
  3. ↑ Max, Black (1954-1955), "Metaphor", Proceedings of the Aristotelian Society, N.S., 55: 273—294{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка). Reprinted in Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor, University of Minnesota Press, pp. 63—82, ISBN 9780816657971. P. 69 Архивная копия от 5 января 2014 на Wayback Machine: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."
  4. ↑ 1 2 3 4 Taylor, James Morford (1898), Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications, Ginn & Company, pp. 109—110, Архивировано из оригинала 5 января 2014, Дата обращения: 22 июня 2017.
  5. ↑ Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Toronto University Mathematical Expositions, vol. 11, Courier Dover Publications, pp. 32—33, ISBN 9780486667218, Архивировано из оригинала 5 января 2014, Дата обращения: 22 июня 2017.