Спинорная группа

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над ${\displaystyle V}$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}}$, где ${\displaystyle q_{i}\in V}$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ обычно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$. Существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1}$

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$. Гомоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение ${\displaystyle R_{q}}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}}$ можно сопоставить композицию отражений

${\displaystyle R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}}$

которая принадлежит группе ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$. Проективные представления накрываемой группы ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ находятся при этом во взаимно-однозначном соответствии с представлениями её накрытия ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$.

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)}$