Список групп малого порядка

Следующий список содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп.

Каждая группа в списке обозначается при помощи её индекса в библиотеке малых групп как G_oⁱ, где o — порядок группы, а i — её индекс среди групп этого порядка.

Также используются общепринятые названия групп:

• Z_n — циклическая группа порядка n. (Употребляется также обозначение C_n. Группа изоморфна аддитивной группе Z/nZ.)
  • K₄ — четверная группа Клейна порядка 4 (так же обозначаемая как V₄), то же самое что Z₂ × Z₂ или Dih₂.
• Dih_n — диэдрическая группа порядка 2n (часто используются обозначения D_n или D_2n)
• S_n — симметрическая группа порядка n, содержащая n! перестановок n элементов.
• A_n — знакопеременная группа степени n, содержащая n!/2 чётных перестановок n элементов.
• Dic_n или Q_4n — дициклическая группа порядка 4n.
  • Q₈ — группа кватернионов порядка 8, также Dic₂.

Обозначения Z_n и Dih_n предпочтительнее, поскольку имеются обозначения C_n и D_n для точечных групп в трёхмерном пространстве.

Обозначение G × H употребляется для прямого произведения двух групп. Gⁿ обозначает прямое произведение группы самой на себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение, где H действует на G.

Перечислены абелевы и простые группы. (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Z_n для простых n.) Знак равенства («=») означает изоморфизм.

Нейтральный элемент в графе циклов представлен чёрным кружком. Граф циклов определяет группу однозначно только для групп, порядок которых меньше 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не перечислены. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, их число указано в скобках.

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямым произведением, см. статью Абелева группа.

Список всех абелевых групп до 30-го порядка

Порядок	Goi	Группа	Подгруппы	Граф циклов	Свойства
1[3]	G11	Z1[4] = S1 = A2	-		Тривиальная группа. Циклическая, знакопеременная, симметрическая группа. Элементарная группа.
2[5]	G21	Z2[6] = S2 = Dih1	-		Простая, наименьшая нетривиальная группа. Симметрическая группа. Циклическая. Элементарная.
3[7]	G31	Z3[8] = A3	-		Простая. Знакопеременная группа. Циклическая. Элементарная.
4[9]	G41	Z4[10] = Dic1	Z2		Циклическая.
	G42	Z22 = K4[11] = Dih2	Z2 (3)		Четверная группа Клейна, наименьшая нециклическая группа. Элементарная. Произведение.
5[12]	G51	Z5[13]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
6[14]	G62	Z6[15] = Z3 × Z2	Z3, Z2		Циклическая. Произведение.
7[16]	G71	Z7[17]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
8[18]	G81	Z8[19]	Z4, Z2		Циклическая.
	G82	Z4 × Z2[20]	Z22, Z4 (2), Z2 (3)		Произведение.
	G85	Z23[21]	Z22 (7), Z2 (7)		Элементы, не являющиеся нейтральными, соответствуют точкам плоскости Фано, Z2 × Z2 подгруппы — прямым. Произведение Z2 × K4. Элементарная.
9[22]	G91	Z9[23]	Z3		Циклическая.
	G92	Z32[24]	Z3 (4)		Элементарная. Произведение.
10[25]	G102	Z10[26] = Z5 × Z2	Z5, Z2		Циклическая. Произведение.
11	G111	Z11[27]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
12[28]	G122	Z12[29] = Z4 × Z3	Z6, Z4, Z3, Z2		Циклическая. Произведение.
	G125	Z6 × Z2[30] = Z3 × K4	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22		Произведение.
13	G131	Z13[31]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
14[32]	G142	Z14[33] = Z7 × Z2	Z7, Z2		Циклическая. Произведение.
15[34]	G151	Z15[35] = Z5 × Z3	Z5, Z3		Циклическая. Произведение.
16[36]	G161	Z16[37]	Z8, Z4, Z2		Циклическая.
	G162	Z42[38]	Z2 (3), Z4 (6), Z22, Z4 × Z2 (3)		Произведение.
	G165	Z8 × Z2[39]	Z2 (3), Z4 (2), Z22, Z8 (2), Z4 × Z2		Произведение.
	G1610	Z4 × K4[40]	Z2 (7), Z4 (4), Z22 (7), Z23, Z4 × Z2 (6)		Произведение.
	G1614	Z24[20] = K42	Z2 (15), Z22 (35), Z23 (15)		Произведение. Элементарная.
17	G171	Z17[41]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
18[42]	G182	Z18[43] = Z9 × Z2	Z9, Z6, Z3, Z2		Циклическая. Произведение.
	G185	Z6 × Z3[44] = Z32 × Z2	Z2, Z3 (4), Z6 (4), Z32		Произведение.
19	G191	Z19[45]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
20[46]	G202	Z20[47] = Z5 × Z4	Z20, Z10, Z5, Z4, Z2		Циклическая. Произведение.
	G205	Z10 × Z2[48] = Z5 × Z22	Z2 (3), K4, Z5, Z10 (3)		Произведение.
21	G212	Z21[49] = Z7 × Z3	Z7, Z3		Циклическая. Произведение.
22	G222	Z22[50] = Z11 × Z2	Z11, Z2		Циклическая. Произведение.
23	G231	Z23[51]	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
24[52]	G242	Z24[53] = Z8 × Z3	Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2		Циклическая. Произведение.
	G249	Z12 × Z2[54] = Z6 × Z4 = Z4 × Z3 × Z2	Z12, Z6, Z4, Z3, Z2		Произведение.
	G2415	Z6 × Z22 = (Z3 × Z2) × K4 [40]	Z6, Z3, Z2, K4, E8.		Произведение.
25	G251	Z25	Z5		Циклическая.
	G252	Z52	Z5		Произведение. Элементарная.
26	G262	Z26 = Z13 × Z2	Z13, Z2		Циклическая. Произведение.
27[55]	G271	Z27	Z9, Z3		Циклическая.
	G272	Z9×Z3	Z9, Z3		Произведение.
	G27	Z33	Z3		Произведение. Элементарная.
28	G282	Z28 = Z7 × Z4	Z14, Z7, Z4, Z2		Циклическая. Произведение.
	G284	Z14 × Z2 = Z7 × Z22	Z14, Z7, Z4, Z2		Произведение.
29	G291	Z29	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
30[56]	G304	Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3 = Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2	Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2		Циклическая. Произведение.

Список неизоморфных неабелевых групп до 30 порядка

Порядок	Goi	Группа	Подгруппы	Граф циклов	Свойства
6[14]	G61	Dih3 = 21323	Z3, Z2 (3)		Диэдрическая группа, наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, Группа Фробениуса
8[18]	G83	Dih4	Z4, Z22 (2), Z2 (5)		Диэдрическая группа. Особая специальная группа[англ.]. Нильпотентная.
	G84	Q8 = Dic2 = <2,2,2>	Z4 (3), Z2		Группа кватернионов, Гамильтонова группа[англ.]*. Все подгруппы являются нормальными, несмотря на то, что сама группа абелевой не является. Наименьшая группа G, демонстрирующая, что для нормальной подгруппы H факторгруппа G/H не обязательно изоморфна подгруппе G. Особая специальная группа[англ.]. Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
10[25]	G101	Dih5	Z5, Z2 (5)		Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
12[28]	G121	Q12 = Dic3 = <3,2,2> = Z3 ⋊ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6		Бинарная диэдрическая группа
	G123	A4 = K4 ⋊ Z3 = (Z2 × Z2) ⋊ Z3	Z22, Z3 (4), Z2 (3)		Знакопеременная группа. Не имеет подгруппы шестого порядка, хотя 6 делит порядок группы. Группа Фробениуса
	G124	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6, Dih3 (2), Z22 (3), Z3, Z2 (7)		Диэдрическая группа, Произведение
14[32]	G141	Dih7	Z7, Z2 (7)		Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
16[36][58]	G163	G4,4 = K4 ⋊ Z4 (Z2×Z2) ⋊ Z4			Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентная.
	G164	Z4 ⋊ Z4			Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Q8 × Z2. Нильпотентная.
	G166	Z8 ⋊ Z2			Иногда называется модулярной группой[англ.] порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q8 × Z2 тоже модулярны. Нильпотентная.
	G167	Dih8	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)		Диэдрическая группа. Нильпотентная.
	G168	QD16			Квазидиэдрическая группа[англ.] порядка 16. Нильпотентная.
	G169	Q16 = Dic4 = <4,2,2>			Обобщённая группа кватернионов, Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
	G1611	Dih4 × Z2	Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)		Произведение. Нильпотентная.
	G1612	Q8 × Z2			Гамильтонова[англ.]*, Произведение. Нильпотентная.
	G1613	(Z4 × Z2) ⋊ Z2			Группа Паули[англ.], образованная матрицами Паули. Нильпотентная.
18[42]	G181	Dih9	Z9, Dih3 (3), Z3, Z2 (9)		Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
	G183	Z3⋊Z6 = Dih3×Z3 = S3×Z3	Z32, Dih3, Z6 (3), Z3 (4), Z2 (3)		Произведение
	G184	(Z3×Z3)⋊Z2	Z32, Dih3 (12), Z3 (4), Z2 (9)		Группа Фробениуса
20[46]	G201	Q20 = Dic5 = <5,2,2>			Бинарная диэдрическая группа[англ.]
	G203	Z5 ⋊ Z4			Группа Фробениуса
	G204	Dih10 = Dih5 × Z2			Диэдрическая группа, Произведение
21	G211	Z7 ⋊ Z3			Наименьшая неабелева группа нечётного порядка. Группа Фробениуса
22	G221	Dih11			Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
24[52]	G241	Z3 ⋊ Z8	Z12, Z8 (3), Z6, Z4, Z3, Z2		Центральное расширение группы S3
	G243	SL(2,3) = 2T = Q8 ⋊ Z3			Бинарная группа тетраэдра
	G244	Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q2			Бинарная диэдрическая
	G245	Z4 × S3			Произведение
	G246	Dih12			Диэдрическая группа
	G247	Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4)			Произведение
	G248	(Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4			Двойное покрытие диэдрической группы
	G2410	Dih4 × Z3			Произведение. Нильпотентная.
	G2411	Q8 × Z3			Произведение. Нильпотентная.
	G2412	S4	A4, Dih4 (3), S3 (4), K4 (4), Z4 (3), Z3 (4), Z2 (6)[59]		Симметрическая группа. Не содержит нормальной силовской подгруппы.
	G2413	A4 × Z2			Произведение
	G2414	D12× Z2			Произведение
26	G261	Dih13			Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
27[55]	G273	Z32 ⋊ Z3			Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. Особая специальная группа[англ.]. Нильпотентная.
	G274	Z9 ⋊ Z3			Особая специальная группа[англ.]. Нильпотентная.
28	G281	Z7 ⋊ Z4			Бинарная диэдрическая группа
	G283	Dih14			Диэдрическая группа, Произведение
30[56]	G301	Z5 × S3			Произведение
	G303	Dih15			Диэдрическая группа, группа Фробениуса
	G304	Z3 × Dih5			Произведение

Группы с малым порядком, равным степени простого числа pⁿ:

• Порядок p: все такие группы циклические.
• Порядок p²: имеется две группы, обе абелевы.
• Порядок p³: имеется три абелевы группы и две неабелевы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p² на циклическую группу порядка p. Другой группой является группа кватернионов для p=2 и группа Гейзенберга по модулю p для p'>2.
• Порядок p⁴: классификация групп сложна и становится всё сложнее с ростом p.

Большинство групп с малым порядком имеет силовскую p-подгруппу P с нормальным p-дополнением N для некоторого простого p, делящего порядок, так что могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p, p-групп P, групп N и действий P на N. В некотором смысле это сводит классификацию таких групп к классификации p-групп. Группы малого порядка, не имеющие нормального p-дополнения, включают:

• Порядок 24: симметрическая группа S₄
• Порядок 48: бинарная октаэдральная группа и произведение S₄ × Z/2Z
• Порядок 60: знакопеременная группа A₅.

Система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая предоставляет описания групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма. В настоящее время библиотека содержит следующие группы:^[60]

• группы, порядок которых не превосходит 2000, за исключением порядка 1024 (423 164 062 групп в библиотеке. Группы порядка 1024 пропущены, поскольку имеется 49 487 365 422 неизоморфных 2-групп порядка 1024.);
• группы, порядок которых не делится на куб, с порядком до 50000 (395 703 групп);
• группы, порядок которых не делится на квадрат;
• группы порядка pⁿ для n не больше 6 и простым p;
• группы порядка p⁷ для p = 3, 5, 7, 11 (907,489 группы);
• группы порядка qⁿ × p, где qⁿ делит 2⁸, 3⁶, 5⁵ или 7⁴ и p — произвольное простое число, отличное от q;
• группы, порядок которых является произведением не более чем трёх простых чисел.

• Классификация простых конечных групп
• Композиционный ряд^[англ.]
• Список конечных простых групп^[англ.]
• Латинские квадраты малого порядка и квазигруппы^[англ.]

• H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9., Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
• Marshall Hall Jr., James K. Senior. The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6). — Macmillan, 1964.

• Particular groups in the Group Properties Wiki
• H. U. Besche, B. Eick, E. O'Brien. small group library  (неопр.). Архивировано из оригинала 5 марта 2012 года.
• R. J. Mathar. Plots of cycle graphs of the finite groups up to order 36  (неопр.) (2014).