Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от $e^{x^{2}}$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Правила интегрирования функций

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,df(x)

\int f(ax+b)\,dx={1 \over a}F(ax+b)\,+C

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

\int \!0\,dx=C

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\\ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C=-{1 \over a}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C

Доказательство

Сделаем замену $x=a\operatorname {tg} t$ , получим

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+(a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a}+C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

\int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C

(«высокий логарифм»)

Логарифмы

\int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C

\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|+C

\int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C=x{\frac {\ln {x}-1}{\ln b}}+C

Экспоненциальные функции

\int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C

\int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C

Иррациональные функции

\int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C

\int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C

\int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}\right|+C

(«длинный логарифм»)

\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|)+C

Доказательство

Пусть $a<0$ , предположим также, что $x\geq 0$ . Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену $x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t-t)+C_{1}\end{aligned}}$

Но

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x{{\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Поэтому

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Если $x<0$ , то заменой $x=-t,t>0$ сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же $a>0$ , то делаем замену $x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t$ и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю^[1].

Тригонометрические функции

\int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C

\int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C

\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C

Доказательство

$\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\int {\frac {d(\cos x)}{\cos x}}=-\ln |\cos x|+C$

\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C

Доказательство

$\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}dx=\int {\frac {d(\sin x)}{\sin x}}=\ln |\sin x|+C$

\int \!\sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} \,{x}\right|}+C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+C

\int \!\sec ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C

\int \!\operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C

\int \!\sec {x}\,\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\sec {x}+C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C

\int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C

\int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2

\int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2

\int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C

Гиперболические функции

\int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C

\int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C

\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{2}\,x}}=\operatorname {th} \,x+C

\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{2}\,x}}=-\operatorname {cth} \,x+C

\int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln |\operatorname {ch} \,x|+C

\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} \,{x \over 2}\right|+C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C

также

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,(e^{x})+C

также

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C

\int \operatorname {cth} \,x\,dx=\ln |\operatorname {sh} \,x|+C

Доказательства

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$ :

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2}x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ : $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x}}=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ .

Доказательство формулы $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$ :

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^{2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \over 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C\end{aligned}}

Специальные функции

\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x

\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x

\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x

\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)

\int w(x)\,dx=x\left(w(x)-1+{\frac {1}{w(x)}}\right)

Примечания

↑ Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.

Библиография

Книги

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (рус.). — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов (рус.). — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.