Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца

Существует много связей между однородными многогранниками. Построение Витхоффа способно построить почти все однородные многогранники из треугольников Шварца. Числа, которые могут быть использованы для сторон недиэдрического треугольника Шварца, которые не обязательно приводят только к вырожденным многогранникам, равны 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителями 4 и 5 не могут встречаться вместе). Число 4/2 тоже можно использовать, но оно приводит к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий делитель. Существует 44 таких треугольников Шварца (5 с тетраэдральной симметрией, 7 с октаэдральной симметрией^[англ.] и 32 с икосаэдральной симметрией), которые, вместе с бесконечным семейством диэдрических треугольников Шварца, могут образовать почти все невырожденные однородные многогранники. Многие вырожденные однородные многогранники с полностью совпадающими вершинами, рёбрами или гранями могут быть также сгенерированы с помощью построения Витхоффа, и те, которые возникают из треугольников Шварца, не использующих 4/2, также включены в таблицы ниже вместе с их невырожденными аналогами.

Существует несколько невитхоффовых однородных многогранника, которые треугольники Шварца не могут сгенерировать. Однако большинство из них может быть получено с помощью построения Витхоффа как двойное покрытие (невитхоффов многогранник покрывается дважды) или с несколькими дополнительными гранями (см. Всеусечённый многогранник^[англ.]). Такие многогранники помечены в списке звёздочкой. Только для двух однородных многогранников построение Витхоффа не работает — это Большой биромбоикосододекаэдр^[англ.] и Большой биплосконосый биромбобидодекаэдр^[англ.].

Каждая мозаика треугольников Шварца на сфере может покрыть сферу только раз, либо, вместо этого, обойти сферу кратное число раз, пересекая себя в процессе покрытия. Число раз, которые мозаика оборачивает сферу, является плотностью^[англ.] мозаики и обозначается μ.

Для экономии места в статье используются короткие имена многогранников, данные Джонатаном Бауэрсом (Jonathan Bowers), и известные как сокращения (акронимы) Бауэрса. Номер Маедера (система «Mathematic»^[1][2]) также дан. За исключением диэдрических треугольников Шварца, треугольники Шварца упорядочены по их плотности.

Согласно книге Коксетера (Коксетер, «Uniform polyhedra»^[3]), существует 4 сферических треугольника с углами π/p, π/q, π/r, где (p q r) — целые числа:

1. (2 2 r) — Диэдральный
2. (2 3 3) — Тетраэдраьный
3. (2 3 4) — Октаэдральный
4. (2 3 5) — Икосаэдральный

Они называются треугольниками Мёбиуса.

В треугольнике Шварца кроме этих троек допускаются (p q r) с рациональными числами.

Существует семь генерирующих точек в каждом наборе p, q, r (и несколько специальных случаев):

Общий случай				Прямоугольный треугольник (r=2)
Описание	Символ Витхоффа	Конфигурация вершины	Диаграмма Коксетера	Символ Витхоффа	Конфигурация вершины	Символ Шлефли	Диаграмма Коксетера
правильный и квазиправильный	q | p r	(p.r)q		q | p 2	pq	{p,q}
	p | q r	(q.r)p		p | q 2	qp	{q,p}
	r | p q	(q.p)r		2 | p q	(q.p)²	t1{p,q}
усечённый и растянутый	q r | p	q.2p.r.2p		q 2 | p	q.2p.2p	t0,1{p,q}
	p r | q	p.2q.r.2q		p 2 | q	p.2q.2q	t0,1{q,p}
	p q | r	2r.q.2r.p		p q | 2	4.q.4.p	t0,2{p,q}
с чётным числом граней	p q r |	2r.2q.2p		p q 2 |	4.2q.2p	t0,1,2{p,q}
	p q r s |	2p.2q.-2p.-2q	-	p 2 r s |	2p.4.-2p.4/3		-
плосконосый	| p q r	3.r.3.q.3.p		| p q 2	3.3.q.3.p	sr{p,q}
	| p q r s	(4.p.4.q.4.r.4.s)/2	-	-	-		-

Существует четыре специальных случая:

• p q r
  s | — Смесь p q r | и p q s |. Оба символа p q r | и p q s | образуют общий базовый многогранник с некоторыми дополнительными гранями. Запись p q r
  s | тогда представляет базовый многогранник, сделанный из общих граней p q r | и p q s |.
• | p q r — Плосконосые формы (альтернированные).
• | p q r s — Единственная плосконосая форма для U75^[англ.], который не получается из построения Витхоффа с использованием треугольной фундаментальной области. В этот символ Витхоффа входят четыре числа, поскольку имеет четырёхугольную сферическую фундаментальную область.
• | (p) q (r) s — Единственная плосконосая форма для фигуры Скиллинга^[англ.], которую нельзя получить построением Витхоффа.

Эта таблица преобразования символа Витхоффа в конфигурацию вершины не работает для некоторых исключительных однородных многогранников. Единственными невырожденными такими случаями являются большой усечённый кубооктаэдр^[англ.] (2 3 4/3 |), усечённый додекододекаэдр^[англ.] (2 5/3 5 |), Большой икосаэдр (| 2 3/2 3/2), большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр (| 2 3/2 5/3) и малый плосконосый икосоикосододекаэдр^[англ.] (| 3/2 3/2 5/2). В этих случаях вершинная фигура является крайне деформированной для того, чтобы получить однородность с плоскими гранями — в первых двух случаях это тупоугольный треугольник, а не остроугольный, а в последних трёх случаях это пентаграмма или гексаграмма вместо пятиугольника или шестиугольника, и они оборачиваются вокруг центра дважды. Это приводит к тому, что часть граней проходят сквозь многогранник и выходят с другой стороны многогранника. По этой же причине плотность многогранника не совпадает с плотностью треугольника Шварца, из которого они получены, и равны 1, 3, 7, 37 и 38 соответственно.

В диэдральных треугольниках Шварца два числа равны 2, а третье может быть произвольным рациональным числом, строго большим 1.

1. (2 2 n/d) – вырожденный, если НОД(n, d) > 1.

Много многогранников с диэдральной симметрией имеют двуугольные грани, что делает их вырожденными многогранниками (то есть диэдрами и осоэдрами). Столбцы таблицы, содержащие только вырожденные многогранники не включены — специальные вырожденные случаи (только для треугольников Шварца (2 2 2)) помечены большим крестом. Скрещенные антипризмы^[англ.] с третьим значением {p}, где p < 3/2 существовать не могут, поскольку их вершинные фигуры тогда нарушили бы неравенство треугольника. Эти невозможные фигуры также отмечены большим крестом. 3/2-скрещенная антипризма является вырожденной, поскольку в евклидовом пространстве она плоская, а потому тоже помечена большим крестом. Треугольники Шварца (2 2 n/d) перечислены здесь только для случаев НОД (n, d) = 1, в противном случае все полученные многогранники будут вырожденными.

Список даёт все возможные случаи для n ≤ 6.

(p q r)	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p.2q.r.2q	p q r | 2r.2q.2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
(2 2 2) (μ=1)	X	X	4.4.4 cube 4-p	3.3.3 tet 2-ap
(2 2 3) (μ=1)	4.3.4 trip 3-p	4.3.4 trip 3-p	6.4.4 hip 6-p	3.3.3.3 oct 3-ap
(2 2 3/2) (μ=2)	4.3.4 trip 3-p	4.3.4 trip 3-p	6/2.4.4 2trip 6/2-p	X
(2 2 4) (μ=1)	4.4.4 cube 4-p	4.4.4 cube 4-p	8.4.4 op 8-p	3.4.3.3 squap 4-ap
(2 2 4/3) (μ=3)	4.4.4 cube 4-p	4.4.4 cube 4-p	8/3.4.4 stop 8/3-p[англ.]	X
(2 2 5) (μ=1)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10.4.4 dip 10-p	3.5.3.3 pap 5-ap
(2 2 5/2) (μ=2)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/2.4.4 2pip 10/2-p	3.5/2.3.3 stap 5/2-ap[англ.]
(2 2 5/3) (μ=3)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/3.4.4 stiddip 10/3-p[англ.]	3.5/3.3.3 starp 5/3-ap[англ.]
(2 2 5/4) (μ=4)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10/4.4.4 – 10/4-p	X
(2 2 6) (μ=1)	4.6.4 hip 6-p	4.6.4 hip 6-p	12.4.4 twip 12-p[англ.]	3.6.3.3 hap 6-ap
(2 2 6/5) (μ=5)	4.6.4 hip 6-p	4.6.4 hip 6-p	12/5.4.4 stwip 12/5-p[англ.]	X
(2 2 n) (μ=1)	4.n.4 n-p	4.n.4 n-p	2n.4.4 2n-p	3.n.3.3 n-ap
(2 2 n/d) (μ=d)	4.n/d.4 n/d-p	4.n/d.4 n/d-p	2n/d.4.4 2n/d-p	3.n/d.3.3 n/d-ap

В тетраэдральных треугольниках Шварца максимальный числитель не должен превосходить 3.

1. (3 3 2)
2. (3 3 3/2)
3. (3 2 3/2)
4. (2 3/2 3/2)
5. (3/2 3/2 3/2)

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (q.r)p	r | p q (q.p)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p.q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r.2q.2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(3 3 2) (µ=1)	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 oct U5	3.6.6 tut U2	3.6.6 tut U2	4.3.4.3 co U7	4.6.6 toe U8	3.3.3.3.3 ike U22
2	(3 3 3/2) (µ=2)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	3.6.3/2.6 oho U3[англ.]	3.6.3/2.6 oho U3[англ.]	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.6.6) 2tut –	2(3.3/2.3.3.3.3) 2oct+8{3} –
3	(3 2 3/2) (µ=3)	3.3.3.3 oct U5	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.6.6 tut U2	2(3/2.4.3.4) 2thah U4*	3(3.6/2.6/2) 3tet –	2(6/2.4.6) cho+4{6/2} U15*[англ.]	?
4	(2 3/2 3/2) (µ=5)	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 oct U5	3.3.3 tet U1	3.4.3.4 co U7	3(6/2.3.6/2) 3tet –	3(6/2.3.6/2) 3tet –	4(6/2.6/2.4) 2oct+6{4} –	(3.3.3.3.3)/2 gike U53
5	(3/2 3/2 3/2) (µ=6)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	6(6/2.6/2.6/2) 6tet –	?

В октаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем является 4. Существуют также октаэдральные треугольники с 4/2, но они дают только вырожденные однородные многогранники, поскольку 4 и 2 не взаимно просты.

1. (4 3 2)
2. (4 4 3/2)
3. (4 3 4/3)
4. (4 2 3/2)
5. (3 2 4/3)
6. (2 3/2 4/3)
7. (3/2 4/3 4/3)

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (q.r)p	r | p q (q.p)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p.2q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r.2q.2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(4 3 2) (µ=1)	4.4.4 cube U6	3.3.3.3 oct U5	3.4.3.4 co U7	3.8.8 tic U9	4.6.6 toe U8	4.3.4.4 sirco U10	4.6.8 girco U11	3.3.3.3.4 snic U12
2	(4 4 3/2) (µ=2)	(3/2.4)4 oct+6{4} –	(3/2.4)4 oct+6{4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	3/2.8.4.8 socco U13[англ.]	3/2.8.4.8 socco U13[англ.]	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	2(6/2.8.8) 2tic –	?
3	(4 3 4/3) (µ=4)	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	(3/2.4)4 oct+6{4} –	(3/2.4)4 oct+6{4} –	3/2.8.4.8 socco U13[англ.]	2(4/3.6.4.6) 2cho U15*[англ.]	3.8/3.4.8/3 gocco U14[англ.]	6.8.8/3 cotco U16[англ.]	?
4	(4 2 3/2) (µ=5)	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 oct U5	4.4.4 cube U6	3.8.8 tic U9	4.4.3/2.4 querco U17[англ.]	4(4.6/2.6/2) 2oct+6{4} –	2(4.6/2.8) sroh+8{6/2} U18*[англ.]	?
5	(3 2 4/3) (µ=7)	3.4.3.4 co U7	4.4.4 cube U6	3.3.3.3 oct U5	4.6.6 toe U8	4.4.3/2.4 querco U17[англ.]	3.8/3.8/3 quith U19[англ.]	4.6/5.8/3 quitco U20[англ.]	?
6	(2 3/2 4/3) (µ=11)	4.4.4 cube U6	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 oct U5	4.3.4.4 sirco U10	4(4.6/2.6/2) 2oct+6{4} –	3.8/3.8/3 quith U19[англ.]	2(4.6/2.8/3) groh+8{6/2} U21*	?
7	(3/2 4/3 4/3) (µ=14)	(3/2.4)4 = (3.4)4/3 oct+6{4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	(3/2.4)4 = (3.4)4/3 oct+6{4} –	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	3.8/3.4.8/3 gocco U14[англ.]	3.8/3.4.8/3 gocco U14[англ.]	2(6/2.8/3.8/3) 2quith –	?

В икосаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем может быть 5. Кроме того, числитель 4 не может быть использован во всех икосаэдральных треугольниках Шварца, хотя числители 2 и 3 разрешены. (Если бы 4 и 5 могли появляться одновременно в некоторых треугольниках Шварца, они должны были бы появиться и в некоторых треугольниках Мёбиуса, но это невозможно, так как (2 4 5) является гиперболическим треугольником, а не сферическим.)

1. (5 3 2)
2. (3 3 5/2)
3. (5 5 3/2)
4. (5 5/2 2)
5. (5 3 5/3)
6. (5/2 5/2 5/2)
7. (5 3 3/2)
8. (5 5 5/4)
9. (3 5/2 2)
10. (5 5/2 3/2)
11. (5 2 5/3)
12. (3 5/2 5/3)
13. (5 3 5/4)
14. (5 2 3/2)
15. (3 2 5/3)
16. (5/2 5/2 3/2)
17. (3 3 5/4)
18. (3 5/2 5/4)
19. (5/2 2 3/2)
20. (5/2 5/3 5/3)
21. (3 5/3 3/2)
22. (3 2 5/4)
23. (5/2 2 5/4)
24. (5/2 3/2 3/2)
25. (2 5/3 3/2)
26. (5/3 5/3 3/2)
27. (2 5/3 5/4)
28. (2 3/2 5/4)
29. (5/3 3/2 5/4)
30. (3/2 3/2 5/4)
31. (3/2 5/4 5/4)
32. (5/4 5/4 5/4)

#	(p q r)	q | p r (p.r)q	p | q r (q.r)p	r | p q (q.p)r	q r | p q.2p.r.2p	p r | q p.2q.r.2q	p q | r 2r.q.2r.p	p q r | 2r.2q.2p	| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(5 3 2) (µ=1)	5.5.5 doe U23	3.3.3.3.3 ike U22	3.5.3.5 id U24	3.10.10 tid U26	5.6.6 ti U25	4.3.4.5 srid U27	4.6.10 grid U28	3.3.3.3.5 snid U29
2	(3 3 5/2) (µ=2)	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid U30[англ.]	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid U30[англ.]	(310)/2 2ike –	3.6.5/2.6 siid U31[англ.]	3.6.5/2.6 siid U31[англ.]	2(10/2.3.10/2.3) 2id –	2(10/2.6.6) 2ti –	3.5/2.3.3.3.3 seside U32[англ.]
3	(5 5 3/2) (µ=2)	(5.3/2)5 cid –[англ.]	(5.3/2)5 cid –[англ.]	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	5.10.3/2.10 saddid U33[англ.]	5.10.3/2.10 saddid U33[англ.]	2(6/2.5.6/2.5) 2id –	2(6/2.10.10) 2tid –	2(3.3/2.3.5.3.5) 2id+40{3} –
4	(5 5/2 2) (µ=3)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.5.5/2.5 did U36	5/2.10.10 tigid U37[англ.]	5.10/2.10/2 3doe –	4.5/2.4.5 raded U38[англ.]	2(4.10/2.10) sird+12{10/2} U39*[англ.]	3.3.5/2.3.5 siddid U40[англ.]
5	(5 3 5/3) (µ=4)	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid U41[англ.]	(3.5/3)5 gacid –[англ.]	(3.5)5/3 cid –[англ.]	3.10.5/3.10 sidditdid U43[англ.]	5.6.5/3.6 ided U44[англ.]	10/3.3.10/3.5 gidditdid U42[англ.]	10/3.6.10 idtid U45[англ.]	3.5/3.3.3.3.5 sided U46[англ.]
6	(5/2 5/2 5/2) (µ=6)	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/2)2 2did –	6(10/2.10/2.10/2) 6doe –	3(3.5/2.3.5/2.3.5/2) 3sidtid –
7	(5 3 3/2) (µ=6)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	(310)/4 2gike –	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	2(3.10.3/2.10) 2seihid U49*[англ.]	5.6.3/2.6 giid U48[англ.]	5(6/2.3.6/2.5) 3ike+gad –	2(6.6/2.10) siddy+20{6/2} U50*[англ.]	5(3.3.3.3.3.5)/2 5ike+gad –
8	(5 5 5/4) (µ=6)	(510)/4 2gad –	(510)/4 2gad –	(510)/4 2gad –	2(5.10.5/4.10) 2sidhid U51*[англ.]	2(5.10.5/4.10) 2sidhid U51*[англ.]	10/4.5.10/4.5 2did –	2(10/4.10.10) 2tigid –	3(3.5.3.5.3.5) 3cid –
9	(3 5/2 2) (µ=7)	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.6.6 tiggy U55[англ.]	3.10/2.10/2 2gad+ike –	3(4.5/2.4.3) sicdatrid –[англ.]	4.10/2.6 ri+12{10/2} U56*[англ.]	3.3.5/2.3.3 gosid U57[англ.]
10	(5 5/2 3/2) (µ=8)	(5.3/2)5 cid –[англ.]	(5/3.3)5 gacid –[англ.]	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid U41[англ.]	5/3.10.3.10 sidditdid U43[англ.]	5(5.10/2.3.10/2) ike+3gad –	3(6/2.5/2.6/2.5) sidtid+gidtid –	4(6/2.10/2.10) id+seihid+sidhid –	?
11	(5 2 5/3) (µ=9)	5.5/2.5.5/2 did U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.10.10 tigid U37[англ.]	3(5.4.5/3.4) cadditradid –[англ.]	10/3.5.5 quit sissid U58[англ.]	10/3.4.10/9 quitdid U59[англ.]	3.5/3.3.3.5 isdid U60[англ.]
12	(3 5/2 5/3) (µ=10)	(3.5/3)5 gacid –[англ.]	(5/2)6/2 2gissid –	(5/2.3)5/3 gacid –[англ.]	2(5/2.6.5/3.6) 2sidhei U62*[англ.]	3(3.10/2.5/3.10/2) ditdid+gidtid –	10/3.5/2.10/3.3 gaddid U61[англ.]	10/3.10/2.6 giddy+12{10/2} U63*[англ.]	3.5/3.3.5/2.3.3 gisdid U64[англ.]
13	(5 3 5/4) (µ=10)	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3/2.5)5 cid –[англ.]	(3.5)5/3 cid –[англ.]	3/2.10.5.10 saddid U33[англ.]	2(5.6.5/4.6) 2gidhei U65*[англ.]	3(10/4.3.10/4.5) sidtid+ditdid –	2(10/4.6.10) siddy+12{10/4} U50*[англ.]	?
14	(5 2 3/2) (µ=11)	5.3.5.3 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	5.5.5 doe U23	3.10.10 tid U26	3(5/4.4.3/2.4) gicdatrid –[англ.]	5(5.6/2.6/2) 2ike+gad –	2(6/2.4.10) sird+20{6/2} U39*[англ.]	5(3.3.3.5.3)/2 4ike+gad –
15	(3 2 5/3) (µ=13)	3.5/2.3.5/2 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.6.6 tiggy U55[англ.]	3.4.5/3.4 qrid U67[англ.]	10/3.10/3.3 quit gissid U66[англ.]	10/3.4.6 gaquatid U68[англ.]	3.5/3.3.3.3 gisid U69[англ.]
16	(5/2 5/2 3/2) (µ=14)	(5/3.3)5 gacid –[англ.]	(5/3.3)5 gacid –[англ.]	(5/2)6/2 2gissid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid+gidtid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid+gidtid –	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	10(6/2.10/2.10/2) 2ike+4gad –	?
17	(3 3 5/4) (µ=14)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	(3)10/4 2gike –	3/2.6.5.6 giid U48[англ.]	3/2.6.5.6 giid U48[англ.]	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	2(10/4.6.6) 2tiggy –	?
18	(3 5/2 5/4) (µ=16)	(3/2.5)5 cid –[англ.]	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid U41[англ.]	(5/2.3)5/3 gacid –[англ.]	5/3.6.5.6 ided U44[англ.]	5(3/2.10/2.5.10/2) ike+3gad –	5(10/4.5/2.10/4.3) 3sissid+gike –	4(10/4.10/2.6) did+sidhei+gidhei –	?
19	(5/2 2 3/2) (µ=17)	3.5/2.3.5/2 gid U54	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5(10/2.3.10/2) 2gad+ike –	5/3.4.3.4 qrid U67[англ.]	5(6/2.6/2.5/2) 2gike+sissid –	6(6/2.4.10/2) 2gidtid+rhom –	?
20	(5/2 5/3 5/3) (µ=18)	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	(5/2)10/2 2sissid –	2(5/2.10/2)2 2did –	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid U70*[англ.]	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid U70*[англ.]	2(10/3.10/3.10/2) 2quitsissid –	?
21	(3 5/3 3/2) (µ=18)	(310)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30[англ.]	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30[англ.]	5/2.6.3.6 siid U31[англ.]	2(3.10/3.3/2.10/3) geihid U71*[англ.]	5(6/2.5/3.6/2.3) sissid+3gike –	2(6/2.10/3.6) giddy+20{6/2} U63*[англ.]	?
22	(3 2 5/4) (µ=19)	3.5.3.5 id U24	5.5.5 doe U23	3.3.3.3.3 ike U22	5.6.6 ti U25	3(3/2.4.5/4.4) gicdatrid –[англ.]	5(10/4.10/4.3) 2sissid+gike –	2(10/4.4.6) ri+12{10/4} U56*[англ.]	?
23	(5/2 2 5/4) (µ=21)	5/2.5.5/2.5 did U36	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	3(10/2.5.10/2) 3doe –	3(5/3.4.5.4) cadditradid –[англ.]	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	6(10/4.4.10/2) 2ditdid+rhom –	?
24	(5/2 3/2 3/2) (µ=22)	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30[англ.]	(310)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid U30[англ.]	2(3.10/2.3.10/2) 2id –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid+3gike –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid+3gike –	10(6/2.6/2.10/2) 4ike+2gad –	(3.3.3.3.3.5/2)/2 sirsid U72[англ.]
25	(2 5/3 3/2) (µ=23)	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	3(5/2.4.3.4) sicdatrid –[англ.]	10/3.3.10/3 quit gissid U66[англ.]	5(6/2.5/2.6/2) 2gike+sissid –	2(6/2.10/3.4) gird+20{6/2} U73*[англ.]	(3.3.3.5/2.3)/2 girsid U74
26	(5/3 5/3 3/2) (µ=26)	(5/2.3)5/3 gacid –[англ.]	(5/2.3)5/3 gacid –[англ.]	(5/2)6/2 2gissid –	5/2.10/3.3.10/3 gaddid U61[англ.]	5/2.10/3.3.10/3 gaddid U61[англ.]	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	2(6/2.10/3.10/3) 2quitgissid –	?
27	(2 5/3 5/4) (µ=27)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5.5/2.5 did U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.4.5.4 raded U38[англ.]	10/3.5.10/3 quit sissid U58	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	2(10/4.10/3.4) gird+12{10/4} U73*[англ.]	?
28	(2 3/2 5/4) (µ=29)	5.5.5 doe U23	3.5.3.5 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	3.4.5.4 srid U27	2(6/2.5.6/2) 2ike+gad –	5(10/4.3.10/4) 2sissid+gike –	6(10/4.6/2.4/3) 2sidtid+rhom –	?
29	(5/3 3/2 5/4) (µ=32)	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid U41[англ.]	(3.5)5/3 cid –[англ.]	(3.5/2)5/3 gacid –[англ.]	3.10/3.5.10/3 gidditdid U42[англ.]	3(5/2.6/2.5.6/2) sidtid+gidtid –	5(10/4.3.10/4.5/2) 3sissid+gike –	4(10/4.6/2.10/3) gid+geihid+gidhid –	?
30	(3/2 3/2 5/4) (µ=34)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid U47[англ.]	(3)10/4 2gike –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike+gad –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike+gad –	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	10(10/4.6/2.6/2) 2sissid+4gike –	?
31	(3/2 5/4 5/4) (µ=38)	(3.5)5/3 cid –[англ.]	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3.5)5/3 cid –[англ.]	2(5.6/2.5.6/2) 2id –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid+ditdid –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid+ditdid –	10(10/4.10/4.6/2) 4sissid+2gike –	5(3.3.3.5/4.3.5/4) 4ike+2gad –
32	(5/4 5/4 5/4) (µ=42)	(5)10/4 2gad –	(5)10/4 2gad –	(5)10/4 2gad –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	6(10/4.10/4.10/4) 2gissid –	3(3/2.5.3/2.5.3/2.5) 3cid –

Эти многогранники (полумногогранники^[англ.]) получаются как двойное покрытие с помощью построения Витхоффа. Если фигура, полученная построением Витхоффа, составлена из двух идентичных компонент, операция «геми» берёт только одну компоненту.

3/2.4.3.4 thah U4 hemi(3 3/2 | 2)	4/3.6.4.6 cho U15[англ.] hemi(4 4/3 | 3)	5/4.10.5.10 sidhid U51[англ.] hemi(5 5/4 | 5)	5/2.6.5/3.6 sidhei U62[англ.] hemi(5/2 5/3 | 3)	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid U70[англ.] hemi(5/2 5/3 | 5/3)
	3/2.6.3.6 oho U3[англ.] hemi(?)	3/2.10.3.10 seihid U49[англ.] hemi(3 3/2 | 5)	5.6.5/4.6 gidhei U65[англ.] hemi(5 5/4 | 3)	3.10/3.3/2.10/3 geihid U71[англ.] hemi(3 3/2 | 5/3)

Эти многогранники генерируются построением Витхоффа с лишними гранями. Если фигура генерируется с помощью построения Витхоффа как соединение двух или трёх неидентичных компонент, операция «приведения» удаляет лишние грани (которые следует указать) из фигуры, оставляя только одну компоненту.

Витхофф	Многогранник	Лишние грани		Витхофф	Многогранник	Лишние грани		Витхофф	Многогранник	Лишние грани
3 2 3/2 |	4.6.4/3.6 cho U15[англ.]	4{6/2}		4 2 3/2 |	4.8.4/3.8/7 sroh U18[англ.]	8{6/2}		2 3/2 4/3 |	4.8/3.4/3.8/5 groh U21	8{6/2}
5 5/2 2 |	4.10.4/3.10/9 sird U39[англ.]	12{10/2}		5 3 3/2 |	10.6.10/9.6/5 siddy U50[англ.]	20{6/2}		3 5/2 2 |	6.4.6/5.4/3 ri U56[англ.]	12{10/2}
5 5/2 3/2 |	3/2.10.3.10 seihid U49[англ.]	id + sidhid		5 5/2 3/2 |	5/4.10.5.10 sidhid U51[англ.]	id + seihid		5 3 5/4 |	10.6.10/9.6/5 siddy U50[англ.]	12{10/4}
3 5/2 5/3 |	6.10/3.6/5.10/7 giddy U63[англ.]	12{10/2}		5 2 3/2 |	4.10/3.4/3.10/9 sird U39[англ.]	20{6/2}		3 5/2 5/4 |	5.6.5/4.6 gidhei U65[англ.]	did + sidhei
3 5/2 5/4 |	5/2.6.5/3.6 sidhei U62[англ.]	did + gidhei		3 5/3 3/2 |	6.10/3.6/5.10/7 giddy U63[англ.]	20{6/2}		3 2 5/4 |	6.4.6/5.4/3 ri U56[англ.]	12{10/4}
2 5/3 3/2 |	4.10/3.4/3.10/7 gird U73[англ.]	20{6/2}		5/3 3/2 5/4 |	3.10/3.3/2.10/3 geihid |U71[англ.]	gid + gidhid		5/3 3/2 5/4 |	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid U70[англ.]	gid + geihid
2 5/3 5/4 |	4.10/3.4/3.10/7 gird U73[англ.]	12{10/4}

Тетрагемигексаэдр (thah, U4) является также приведённой формой {3/2}-купола (обратный треугольный купол, ratricu) по {6/2}.

Эти два однородных многогранника нельзя получить с помощью построения Витхоффа. Это множество многогранников принято называть «невитхоффовыми». Вместо треугольной фундаментальной области витхоффовых однородных многогранников эти два имеют четырёхугольную фундаментальную область.

Многогранник Скиллинга не дан в списке Маедера, поскольку он принадлежит к экзотическим однородным многогранникам, у которых рёбра полностью совпадают. Это верно также для некоторых вырожденных многогранников, перечисленных выше, таких как малый составной икосододекаэдр^[англ.]. Такая интерпретация совпадающих рёбер позволяет этим фигурам оставаться биметорными (греч.: bi + methoric = два + ребро), то есть имеющими две грани на ребро. Без удвоения рёбер эти тела превратились бы в тетра-, гекса-, окта-, дека- или додекаметорные фигуры, которые обычно исключаются из списка однородных многогранников. Фигура Скиллинга является тетраметорной ^[4].

(p q r s)	| p q r s (4.p.4.q.4.r.4.s)/2	| (p) q (r) s (p3.4.q.4.r3.4.s.4)/2
(3/2 5/3 3 5/2)	(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2 gidrid U75[англ.]	(3/23.4.5/3.4.33.4.5/2.4)/2 gidisdrid Скиллинга[англ.]

• Roman E. Maeder. Computer Science with Mathematica. — Cambridge University Press, 2000. — ISBN 0-521-63172-6,0-521-66395-4.
• Дьяконов В. П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. — М.: ДМК-Пресс, 2008. — ISBN 5-94074-405-2.
• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.

Richard Klitzing: Polyhedra by

• point-group symmetry
• complexity
• Schwarz triangles part 1, part 2

Zvi Har'El:

• Uniform Solution for Uniform Polyhedra