Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов

Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов (англ. Biconjugate gradient stabilized method, BiCGStab) — итерационный метод решения СЛАУ крыловского типа. Разработан Ван дэр Ворстом (англ.) для решения систем с несимметричными матрицами. Сходится быстрее, чем обычный метод бисопряженных градиентов, который является неустойчивым^[1], и поэтому применяется чаще^[2].

Обозначения

Для комплексных СЛАУ, в методе используются два вида скалярных произведений, в случае действительных матрицы и правой части они совпадают.

$(u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\overline {u}}_{i}v_{i}$
$[u,v]=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$

Алгоритм метода

Для решения СЛАУ вида $Ax=b$ , где $A$ — комплексная матрица, стабилизированным методом бисопряжённых градиентов может использоваться следующий алгоритм^[1]^[3]:

Подготовка перед итерационным процессом

Выберем начальное приближение $x^{0}$
$r^{0}=b-Ax^{0}$
${\tilde {r}}=r^{0}$
$\rho ^{0}=\alpha ^{0}=\omega ^{0}=1$
$v^{0}=p^{0}=0$

$k$ -я итерация метода

$\rho ^{k}=({\tilde {r}},r^{k-1})$
$\beta ^{k}={\frac {\rho ^{k}}{\rho ^{k-1}}}{\frac {\alpha ^{k-1}}{\omega ^{k-1}}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^{k}=Ap^{k}$
$\alpha ^{k}={\frac {\rho ^{k}}{({\tilde {r}},v^{k})}}$
$s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k}$
$t^{k}=As^{k}$
$\omega ^{k}={\frac {[t^{k},s^{k}]}{[t^{k},t^{k}]}}$
$x^{k}=x^{k-1}+\omega ^{k}s^{k}+\alpha ^{k}p^{k}$
$r^{k}=s^{k}-\omega ^{k}t^{k}$

Критерий остановки итерационного процесса

Кроме традиционных критериев остановки, как число итераций ( $k\leq k_{max}$ ) и заданная невязка ( $\||r^{k}||/||b||<\varepsilon$ ), так же остановку метода можно производить, когда величина $|\omega ^{k}|$ стала меньше некоторого заранее заданного числа $\varepsilon _{\omega }$ .

См. также

Метод сопряжённых градиентов

Примечания

↑ ¹ ² Henk A. van der Vorst. Iterative Krylov Methods for Large Linear System. — Cambridge University Press, 2003. — 221 с. — ISBN 9780521818285.
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Solving Maxwell’s Equations using Ultra Weak Variational Formulation (англ.). — 2006.
↑ A. Formmer, V. Hannemann, B. Nokel, Th. Lippert, K. Schilling. Accelerating Wilson Fermion Matrix Invesion by Means of the Stibilized Biconjugate Cgadient Agorithm (англ.). — 1994.

Методы решения СЛАУ
Прямые методы	Матричный метод Метод Гаусса Метод Гаусса — Жордана Метод Крамера LU-разложение Разложение Холецкого Метод прогонки
Итерационные методы	Метод Якоби Метод Гаусса — Зейделя Метод итерации Метод релаксации Метод сопряженных градиентов Метод бисопряжённых градиентов Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
Общее	Обратная матрица Проекционные методы решения СЛАУ Предобуславливание

Похожие исследовательские статьи

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму.

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.

Антидеси́ттеровское простра́нство — псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны. Его можно считать псевдоримановым аналогом $\text{[math]}$ -мерного гиперболического пространства. Названо как противопоставление пространству де Ситтера, обозначается обычно $\text{[math]}$ .

Физи́ческая кине́тика — микроскопическая теория процессов в неравновесных средах. В кинетике методами квантовой или классической статистической физики изучают процессы переноса энергии, импульса, заряда и вещества в различных физических системах и влияние на них внешних полей. В отличие от термодинамики неравновесных процессов и электродинамики сплошных сред, кинетика исходит из представления о молекулярном строении рассматриваемых сред, что позволяет вычислить из первых принципов кинетические коэффициенты, диэлектрические и магнитные проницаемости и другие характеристики сплошных сред. Физическая кинетика включает в себя кинетическую теорию газов из нейтральных атомов или молекул, статистическую теорию неравновесных процессов в плазме, теорию явлений переноса в твёрдых телах и жидкостях, кинетику магнитных процессов и теорию кинетических явлений, связанных с прохождением быстрых частиц через вещество. К ней же относятся теория процессов переноса в квантовых жидкостях и сверхпроводниках и кинетика фазовых переходов.

Флуктуационно-диссипационная теорема — теорема статистической физики, связывающая флуктуации системы с её диссипативными свойствами. ФДТ выводится из предположения о том, что отклик системы на малое внешнее воздействие имеет ту же природу, что и отклик на спонтанные флуктуации.

Вселе́нная Фри́дмана — одна из космологических моделей, удовлетворяющих полевым уравнениям общей теории относительности (ОТО), первая из нестационарных моделей Вселенной. Получена Александром Фридманом в 1922. Модель Фридмана описывает однородную изотропную в общем случае нестационарную Вселенную с веществом, обладающую положительной, нулевой или отрицательной постоянной кривизной. Эта работа учёного стала первым основным теоретическим развитием ОТО после работ Эйнштейна 1915—1917 гг.

Фо́рмула Пла́нка — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Водородоподо́бный а́том или водородоподо́бный ио́н представляет собой любое атомное ядро, которое имеет один электрон и, следовательно, является изоэлектронным атому водорода. Эти ионы несут положительный заряд $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — зарядовое число ядра. Примерами водородоподобных ионов являются He⁺, Li²⁺, Be³⁺ и B⁴⁺. Поскольку водородоподобные ионы представляют собой двухчастичные системы, взаимодействие которых зависит только от расстояния между двумя частицами, их (нерелятивистское) уравнение Шредингера и (релятивистское) уравнение Дирака имеют решения в аналитической форме. Решения являются одноэлектронными функциями и называются водородоподобными атомными орбиталями.

Метод Годунова — реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Эта схема предложена С. К. Годуновым в 1959 г. Метод Годунова — это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые грани определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поясним на примере.

<span class="mw-page-title-main">Гравитационный потенциал</span>

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой $\text{[math]}$ . Гравитационный потенциал в данной точке пространства, задаваемой радиус-вектором $\text{[math]}$ , численно равен работе, которую выполняют гравитационные силы при перемещении пробного тела единичной массы по произвольной траектории из данной точки в точку, где потенциал принят равным нулю. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии $\text{[math]}$ небольшого тела, помещённого в эту точку, к массе тела $\text{[math]}$ . Как и потенциальная энергия, гравитационный потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого, обычно (но не обязательно) подбираемого таким образом, чтобы потенциал на бесконечности оказался нулевым. Например, гравитационный потенциал на поверхности Земли, отсчитываемый от бесконечно удалённой точки (если пренебречь гравитацией Солнца, Галактики и других тел), отрицателен и равен −62,7·10⁶ м²/с² (половине квадрата второй космической скорости).

Поляризо́ванность — векторная физическая величина, равная дипольному моменту единицы объёма вещества, возникающему при его поляризации, количественная характеристика диэлектрической поляризации.

<span class="mw-page-title-main">Метод Вольцингера</span>

Метод Вольцингера — метод моделирования ветровых течений в мелких акваториях, основанный на применении линеаризованных уравнений мелкой воды.

Метод итерации или метод простой итерации — численный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод сопряженных градиентов — численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, является итерационным методом Крыловского типа.

Метод бисопряжённых градиентов — итерационный численный метод решения СЛАУ крыловского типа. Является обобщением метода сопряжённых градиентов.

<span class="mw-page-title-main">Метод регуляризации Тихонова</span> алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $\text{[math]}$ . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $\text{[math]}$ в виде $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $\text{[math]}$ к точному значению $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ приближённое решение $\text{[math]}$ стремилось бы к желаемому точному решению $\text{[math]}$ уравнения $\text{[math]}$ .

Параметр Грюнайзена — безразмерный параметр, который описывает влияние изменения объёма кристаллической решётки на его вибрационные свойства и, как следствие, влияние изменения температуры на размер или динамику решётки. Параметр обычно обозначаемый γ назван в честь Эдуарда Грюнайзена. Под этим термином понимают одно термодинамическое свойство, которое является средневзвешенным средним значением многих отдельных параметров γ_i, входящих в первоначальную формулировку модели Грюнайзена в терминах фононных нелинейностей.

В теории многих тел термин функция Грина иногда используется как синоним корреляционной функции, но относится к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения.

Геометри́ческий объе́кт, или $\text{[math]}$ -объект — любая точка пространства представления данной фундаментальной группы $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.