Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц ${\displaystyle n_{i}}$ с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ есть

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}}$,

где ${\displaystyle g_{i}}$ — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$), ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах ${\displaystyle \mu }$ равен энергии Ферми ${\displaystyle E_{F}}$. В этом случае, если ${\displaystyle g_{i}=1}$, выражение для числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

${\displaystyle F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1}}.}$

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$ всегда ${\displaystyle F=1/2}$ независимо от температуры.

Функцией Ферми — Дирака ${\displaystyle F(\varepsilon ,T)}$ задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция ${\displaystyle F(\varepsilon ,T)}$ ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» ${\displaystyle \rho (\varepsilon )}$ (Дж⁻¹ или Дж⁻¹м⁻³). Функция

${\displaystyle f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )}$

является плотностью распределения (Дж⁻¹) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент ${\displaystyle T}$ опущен. В наиболее традиционных случаях ${\displaystyle \rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}}$.

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

${\displaystyle F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)}$.

После подстановки плотности состояний ${\displaystyle \rho (\varepsilon )}$ и интегрирования по ${\displaystyle \varepsilon }$ от 0 до ${\displaystyle +\infty }$ выражение для ${\displaystyle f}$ примет вид

${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon }}}{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)}$.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица ${\displaystyle A}$ в состоянии 1 и частица ${\displaystyle B}$ в состоянии 2» и «частица ${\displaystyle B}$ в состоянии 1 и частица ${\displaystyle A}$ в состоянии 2» считаются разными.

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц ${\displaystyle N/V\geqslant n_{q}}$ (где ${\displaystyle N}$ — число частиц, ${\displaystyle V}$ — объём, ${\displaystyle n_{q}}$ — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

${\displaystyle n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon }$,

где ${\displaystyle E_{c}}$ (${\displaystyle E_{v}}$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

${\displaystyle j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon }$,

где ${\displaystyle \Theta }$ — коэффициент прозрачности барьера, а ${\displaystyle F_{L}}$, ${\displaystyle F_{R}}$ — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из фермионов, находящихся на одном квантовом уровне. С учётом общих свойств фермионов как типа частиц, возможны лишь два варианта: наличие ровно одной частицы на обсуждаемом уровне или незанятость уровня.

Варианты различаются числом частиц — и поэтому для описания вероятностей ${\displaystyle P_{yes}}$, ${\displaystyle P_{no}}$ их реализации нужно привлечь распределение Гиббса с переменным числом частиц:

${\displaystyle P_{yes|no}=A\cdot \exp \left(-{\frac {E_{yes|no}-\mu N_{yes|no}}{kT}}\right)}$,

где ${\displaystyle N}$ — число частиц, равное 1 в состоянии yes и 0 в состоянии no, а энергия состояния ${\displaystyle E}$ равна энергии уровня ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ при наличии (yes) и 0 при отсутствии (no) фермиона; ${\displaystyle A}$ — нормировочный множитель, подбираемый так, чтобы оказалось ${\displaystyle P_{yes}+P_{no}=1}$.

Следовательно,

${\displaystyle P_{yes}={\frac {P_{yes}}{P_{yes}+P_{no}}}=\left(1+\exp {\frac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)^{-1}}$.

Смысл этого результата как раз и состоит в том, что рассматриваемый уровень заполнен с вероятностью (то есть «на долю») ${\displaystyle P_{yes}}$. Выражение ${\displaystyle P_{yes}}$ переобозначается как ${\displaystyle n_{i}}$, что и соответствует статистике Ферми — Дирака. При наличии вырождения оно домножается на фактор вырождения ${\displaystyle g_{i}}$, как констатировалось в преамбуле.

Для систем, имеющих температуру ${\displaystyle T}$ ниже температуры Ферми ${\displaystyle T_{F}=E_{F}/k}$, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация ${\displaystyle \mu \approx E_{F}}$. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция ${\displaystyle \mu }$ представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения ${\displaystyle T/T_{F}<1}$:

${\displaystyle \mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]}$.

Числа заполнения состояний, диктуемые формулой Ферми — Дирака, изменяются при отклонении системы от равновесия. Подобное отклонение возникает, в частности, при наложении электрического поля. Тем не менее некоторые из приведённых выше выражений, например для концентраций электронов и дырок ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$ или для туннельного тока, при этом сохраняют свою структуру, только функция ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ становится иной.

Искажения ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ в значительной доле случаев таковы, как если бы температура равнялась не ${\displaystyle T}$, а некоему эффективному более высокому значению ${\displaystyle T_{eff}}$, из-за чего говорят о горячих носителях заряда. При радикальных отклонениях от равновесия (например, в очень сильных полях, около ${\displaystyle \sim 10^{6}}$ В/см и выше) аналитический вид ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ модифицируется более радикально, при этом резко возрастают числа заполнения (населённость) высокоэнергетичных состояний, а кривая ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ деформируется. Такого рода ситуации возникают в полупроводниковых приборах в режимах близких к пробойным.