Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени[1].
Определение
Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского , такой что инваринтное собственное время не зависит от , а зависит от только через инварианты группы поворотов: . Самый общий вид записи интервала:
где — неизвестные функции величины
Сведение к стандартному виду
Выгодно заменить сферическими полярными координатами :
Интервал в таком случае примет вид:
- ,
Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты
где — произвольная функция от . Это позволяет исключить недиагональный элемент , положив
Тогда интервал выражается так:
Мы можем переопределить радиус и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции , например следующим образом . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:
где
После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:
Где функции і должны быть определены путём решения уравнений поля. Так как — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:
Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:
Её ненулевые компоненты оказываются равными:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением
Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:
- ,
- ,
- ,
- ,
(Штрих теперь означает дифференцирование по ). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты , , , , тождественно равны нулю, а . Равенство нулю связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени .
Примечания
- ↑ Вейнберг С. Гравитация и космология. — M.: Мир, 1975.