Стационарный итерационный метод

Стационарный итерационный метод — это общее название семейства методов для решения системы линейных алгебраических уравнений $Ax=b$ . Характеризуется общим видом итерационной формулы, которая может быть представлена в следующей простой форме:

x^{k+1}=Hx^{k}+g,

где $H$ и $g$ не зависят от номера итерации $k$ .

В зависимости от свойств исходной матрицы $A$ (например, диагональное преобладание или положительная определённость) матрицы $H$ и $g$ могут быть получены несколькими разными способами.

Стационарные итерационные методы

Литература

Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — М.: Физматлит, 1959. — Т. II.
Лебедева, А. В., Пакулина, А. Н.. Практикум по методам вычислений. Часть 1 (рус.). — СПб.: СПбГУ, 2021. — 156 с.

Методы решения СЛАУ
Прямые методы	Матричный метод Метод Гаусса Метод Гаусса — Жордана Метод Крамера LU-разложение Разложение Холецкого Метод прогонки
Итерационные методы	Метод Якоби Метод Гаусса — Зейделя Метод итерации Метод релаксации Метод сопряженных градиентов Метод бисопряжённых градиентов Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
Общее	Обратная матрица Проекционные методы решения СЛАУ Предобуславливание

Похожие исследовательские статьи

Обра́тная ма́трица — такая матрица $\text{[math]}$ , при умножении которой на исходную матрицу $\text{[math]}$ получается единичная матрица $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Система линейных алгебраических уравнений</span>

Система линейных алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

CORDIC — итерационный метод сведения прямых вычислений сложных функций к выполнению простых операций сложения и сдвига.

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Метод Якоби — разновидность метода простой итерации для решения системы линейных алгебраических уравнений. Назван в честь Карла Густава Якоби.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.

Ме́тод Га́усса — Зе́йделя — является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

EMD — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод».

Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде.

Предобуславливание — процесс преобразования условий задачи для её более корректного численного решения. Предобуславливание обычно связано с уменьшением числа обусловленности задачи^{[уточнить]}. Предобуславливаемая задача обычно затем решается итерационным методом.

Метод итерации или метод простой итерации — численный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод сопряженных градиентов — численный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, является итерационным методом Крыловского типа.

Метод бисопряжённых градиентов — итерационный численный метод решения СЛАУ крыловского типа. Является обобщением метода сопряжённых градиентов.

Алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно (BFGS) — итерационный метод численной оптимизации, предназначенный для нахождения локального максимума/минимума нелинейного функционала без ограничений.

Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов — итерационный метод решения СЛАУ крыловского типа. Разработан Ван дэр Ворстом (англ.) для решения систем с несимметричными матрицами. Сходится быстрее, чем обычный метод бисопряженных градиентов, который является неустойчивым, и поэтому применяется чаще.

В численной линейной алгебре итерация Арнольди является алгоритмом вычисления собственных значений. Арнольди находит приближение собственных значений и собственных векторов матриц общего вида(возможно не эрмитовой) с помощью построения ортонормированного базиса подпространства Крылова.

Итерация Ландвебера или Алгоритм Ландвебера — это алгоритм решения некорректно поставленных линейных обратных задач. Алгоритм был расширен на решение нелинейных задач с ограничениями. Метод впервые представлен в 1950-х годах Луисом Ландвебером и в настоящее время этот метод понимается как частный случай многих других более общих методов.

Численные методы линейной алгебры — это методы приближенного решения задач из области вычислительной математики и линейной алгебры. Целью дисциплины является разработка и анализ алгоритмов для численного решения матричных задач. Наиболее важными задачами являются решение систем линейных алгебраических уравнений и вычисление собственных значений.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.