Степень точки относительно окружности

Степень точки относительно окружности — величина ${\displaystyle d^{2}-R^{2}}$, где ${\displaystyle d}$ — расстояние от точки до центра окружности, a ${\displaystyle R}$ — радиус окружности. По этому определению точки внутри круга имеют отрицательные степени, точки вне круга имеют положительные степени, а точки на окружности имеют нулевую степень. Для точки, лежащей вне окружности, из теоремы Пифагора следует, что степень точки относительно окружности есть квадрат длины касательной, проведённой из данной точки к данной окружности. Степень точки также известна как степень окружности или степень круга относительно точки.

• Если прямая, проходящая через точку ${\displaystyle A}$, пересекает окружность ${\displaystyle \Gamma }$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, то степень ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle \Gamma }$ равна ${\displaystyle \pm AB\cdot AC}$; в этой формуле стоит «+» если ${\displaystyle A}$ лежит снаружи ${\displaystyle \Gamma }$ и «-» если внутри. В частности,
  • (Теорема о двух секущих) Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть: ${\displaystyle AB\cdot AC=AD\cdot AE}$ (рис.).
  • (Теорема о секущей и касательной) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

• Для двух не концентрических окружностей геометрическое место точек Р, для которых степени относительно обеих окружностей равны, является прямой, называемой радикальной осью окружностей.

• Для трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, существует единственная точка, такая, что её степени относительно всех трёх окружностей равны. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей.

• Со степенью точки относительно окружности тесно связано понятие Инверсное расстояние.

Термин «степень» в этом значении был впервые употреблён Якобом Штейнером.

• Аналогично определяется степень точки относительно сферы в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве.

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Я. П. Понарин. §3.1 Степень точки относительно сферы // Элементарная геометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — Т. 2. — С. 146. — 256 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-223-5.

• Касательная прямая к окружности
• Окружность
• Радикальная ось
• Радикальный центр
• Степень точки относительно сферы
• Теорема о произведении отрезков хорд

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Степень точки относительно окружности