Степень трансцендентности

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

Пусть ${\displaystyle L/K}$ — расширение поля ${\displaystyle K}$ до поля ${\displaystyle L.}$ Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K.}$ Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.

Обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {trdeg} _{K}L}$ или ${\displaystyle \mathrm {trdeg} (L/K).}$

Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле ${\displaystyle L}$ нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в ${\displaystyle L}$ существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.

Подмножество ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle L}$ называется базисом трансцендентности расширения ${\displaystyle L/K,}$ если:

• элементы ${\displaystyle S}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle K;}$
• базис полон, то есть ${\displaystyle L}$ является алгебраическим расширением поля ${\displaystyle K(S),}$ полученного присоединением элементов ${\displaystyle S}$ к полю ${\displaystyle K.}$

Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.

Расширение поля ${\displaystyle L/K}$ называется чисто трансцендентным, если в ${\displaystyle L}$ существует подмножество ${\displaystyle S}$ алгебраически независимых над ${\displaystyle K}$ элементов такое, что ${\displaystyle K(S)=L.}$

• Для расширения поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ до поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
• Поле рациональных функций ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle K(x_{1}\dots x_{n})}$ над полем ${\displaystyle K}$ является чисто трансцендентным расширением ${\displaystyle K.}$ Его степень трансцендентности равна ${\displaystyle n,}$ а в качестве базиса трансцендентности можно взять ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.}$
• Поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\pi )}$ является расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ со степенью трансцендентности 1, потому что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ является алгебраическим числом, а ${\displaystyle \pi }$ — трансцендентным.
• Поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)}$ также является расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$ алгебраически независимыми.

Если мы имеет двукратное расширение поля: ${\displaystyle M\supset L\supset K,}$ то степень трансцендентности ${\displaystyle M/K}$ равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle M/L.}$ Базис трансцендентности ${\displaystyle M/K}$ получается объединением базисов трансцендентности для ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle M/L.}$

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М: Иностранная литература, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1967.

• Кузьмин Л. В. Трансцендентное расширение