Строфоида

Строфо́ида, или фока́ла^[англ.] Кетле́ (Кветеле́)^[1], (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом (см. Рис. 1):

Строфоида есть частный случай дефективной гиперболы^[2].

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида, или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол ${\displaystyle \alpha =\angle AOD}$ (для прямоугольной системы координат ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$), записывается так:

${\displaystyle y^{2}\left(x-a\right)-2x^{2}y\cos \alpha +x^{2}\left(a+x\right)=0}$.

Уравнение прямой строфоиды:

${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}}$.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho =-{\frac {a\cos 2\phi }{\cos \phi }}}$.

Параметрическое уравнение строфоиды:

${\displaystyle x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)}$

${\displaystyle y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)}$, где

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\phi }$.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Он называл эту кривую «птероидой» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

${\displaystyle y'={\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\left(1+{\frac {ax}{a^{2}-x^{2}}}\right)}$

В точке ${\displaystyle O(0,0)}$ производная ${\displaystyle y'=\pm 1}$, то есть в точке ${\displaystyle O(0,0)}$ существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен ${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{4}}}$.

${\displaystyle R=ON}$ в точке ${\displaystyle O(0,0)}$ определяется так:

${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \angle AON}}={\frac {a}{\cos {\frac {\pi }{4}}}}=a{\sqrt {2}}}$.

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

${\displaystyle S_{1}=a^{2}(2-{\frac {\pi }{2}})}$.

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

${\displaystyle S_{1}=a^{2}(2+{\frac {\pi }{2}})}$.

Объём (${\displaystyle V_{1}}$) тела, образованного при вращении дуги ${\displaystyle OM_{1}A}$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{-a}^{0}\left(x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\right)^{2}\,dx=\qquad }$   (6)

${\displaystyle =\pi \int \limits _{-a}^{0}x^{2}{\frac {a+x}{a-x}}\,dx=}$

${\displaystyle =-\pi \int \limits _{-a}^{0}x^{2}\,dx-2\pi a\int \limits _{-a}^{0}x\,dx-2\pi a^{2}\int \limits _{-a}^{0}dx+2\pi a^{3}\int \limits _{-a}^{0}{\frac {dx}{a-x}}=}$

${\displaystyle =-{\frac {a^{3}\pi }{3}}+a^{3}\pi -2a^{3}\pi +2a^{3}\pi \ln {2}}$

Итак:

${\displaystyle V_{1}=a^{3}\pi \left(2\ln {2}-{\frac {4}{3}}\right)}$.

Объём (${\displaystyle V_{2}}$) тела, образованного при вращении ветви ${\displaystyle OV'}$ вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle b}$, где ${\displaystyle 0=<b<a}$ :

${\displaystyle V_{2}=\pi \int \limits _{0}^{b}\left(x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\right)^{2}\,dx=\qquad }$

${\displaystyle =-\pi \int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx-2\pi a\int \limits _{0}^{b}x\,dx-2\pi a^{2}\int \limits _{0}^{b}dx+2\pi a^{3}\int \limits _{0}^{b}{\frac {dx}{a-x}}=}$

${\displaystyle =-{\frac {\pi b^{3}}{3}}-a\pi b^{2}-2a^{2}\pi b+2a^{3}\pi \left(\ln {a}-\ln {\left(a-b\right)}\right)}$.

Если ${\displaystyle b\Rightarrow \;a}$, то ${\displaystyle \ln {\left(a-b\right)}\Rightarrow \;-\infty }$, то есть ${\displaystyle V_{2}\Rightarrow \;\infty }$.

• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.