Структура Ходжа

Структура Ходжа веса ${\displaystyle n}$, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ в действительном векторном пространстве ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R} }$ и разложения ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}}$, где ${\displaystyle n=p+q}$, комплексного векторного пространства ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C} }$, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}=H^{q,\;p}}$, где ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}}$ — комплексное сопряжённое в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, ${\displaystyle F^{r}=\bigoplus _{p\geqslant r}H^{p,\;q}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ такой, что ${\displaystyle {\bar {F}}^{s}\cap F^{r}=0}$ при ${\displaystyle r+s\neq n}$. Тогда подпространства ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ восстанавливаются по формуле ${\displaystyle H^{p,\;q}={\bar {F}}^{p}\cap F^{q}}$.

Данную структуру в пространстве ${\displaystyle n}$-мерных когомологий ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ компактного кэлерова многообразия ${\displaystyle X}$ впервые изучил У. Ходж^[1].

В этом случае подпространства ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ описываются как пространства гармонических форм типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ или как когомологии ${\displaystyle H^{q}(X,\;\Omega ^{p})}$ пучков ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ голоморфных дифференциальных форм^[2].

Фильтрация Ходжа в ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ возникает из фильтрации комплекса пучков ${\displaystyle \Omega =\sum _{p\geqslant 0}\Omega ^{p}}$, ${\displaystyle n}$-мерные гиперкогомологии которого изоморфны ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$, подкомплексами вида ${\displaystyle \sum _{r\geqslant p}\Omega ^{r}}$.

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R} }$, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, ${\displaystyle W_{n}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$ и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) ${\displaystyle F^{p}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C} }$ таких, что на пространстве ${\displaystyle (W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C} }$ фильтрации ${\displaystyle F^{p}}$ и ${\displaystyle {\bar {F}}^{p}}$ определяют чистую структуру Ходжа веса ${\displaystyle n}$.

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе^[3] рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений^[4].